In matematica e nella teoria dei gruppi il termine gruppo moltiplicativo si riferisce, a seconda del contesto ad uno dei seguenti concetti:
qualsiasi gruppo la cui operazione binaria è scritta con notazione moltiplicativa (invece di essere scritta con la notazione additiva usata per i gruppi abeliani); il sottogruppo rispetto alla moltiplicazione degli elementi invertibili di un campoSee Hazewinkel et. al. (2004), p. 2., di un anello, o altra struttura che abbia la moltiplicazione tra le sue operazioni. Nel caso di un campo il gruppo è dove 0 si riferisce all'elemento zero di e l'operazione binaria è la moltiplicazione del campo; il toro algebrico .
Schema in gruppi delle radici dell'unità Lo schema in gruppi delle radici -sime dell'unità è per definizione il nucleo della -mappa di potenza sul gruppo moltiplicativo , considerato come schema in gruppi. Perciò per qualsiasi intero possiamo considerare il morfismo sul gruppo moltiplicativo che prende le potenze -esime, e assume un prodotto fibrato appropriato nel senso della teoria degli schemi di questo, con il morfismo che funziona come identità.
Il risultante schema in gruppi viene scritto come . Questo origina uno schema ridotto, quando lo poniamo su un campo , se e solo se la caratteristica di , non divide . Questo dà origine ad alcuni esempi chiave di schemi non ridotti (ossia schemi con elementi nilpotenti nei loro fasci di struttura; per esempio su un campo finito con elementi per qualsiasi numero primo .
Questo fenomeno non è facilmente esprimibile nel linguaggio classico della geometria algebrica. Risulta che esso è di grande importanza, per esempio, nell'esprimere la teoria di dualità delle varietà abeliane nella caratteristica (teoria di Pierre Cartier). La coomologia di Galois di questo schema di gruppo è un modo per esprimere la teoria di Kummer.
Note
Bibliografia Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V.Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900
Voci correlate Gruppo moltiplicativo degli interi modulo n Gruppo additivo
Categoria:Teoria dei gruppi Categoria:Teoria dei campi