In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco è un concetto associato ai solidi dotati di simmetria traslazionale, che gioca un importante ruolo in campi come la diffrazione elettronica e dei raggi X, e la struttura a bande di un solido. Esso scaturisce dalla trasformata di Fourier del reticolo associato alla disposizione degli atomi. Il reticolo diretto o reale è una funzione periodica nello spazio fisico, per esempio un sistema cristallino (solitamente un reticolo di Bravais). Il reticolo reciproco è un oggetto che esiste nello spazio matematico dei numeri d’onda k, chiamato spazio reciproco o spazio k; questo è il duale dello spazio fisico considerato come spazio vettoriale.
Il reticolo reciproco di un reticolo di Bravais è un insieme di vettori che generano un reticolo di Bravais nello spazio k. L'onda piana di vettore d'onda ha la stessa periodicità del reticolo di partenza.
Definizione Consideriamo un insieme di punti che costituiscono un reticolo di Bravais ed un'onda piana . Per alcuni valori di , otteniamo delle onde piane che hanno la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda che descrivono onde piane con la periodicità del reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:
Dovendo tale relazione valere per qualsiasi , segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:
per tutti i punti del reticolo di Bravais.
Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamato reticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è a sua volta un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.
Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:
dove sono numeri interi e sono i vettori primitivi del reticolo reciproco. I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di una .
Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi (che non sono univoci), esiste un algoritmo semplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:
I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie di piani reticolari.
Esempi di reticoli reciproci Cubico semplice Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto
Allora essendo:
i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:
Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare .
Reticolo cubico a corpo centrato Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):
in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:
Reticolo cubico a facce centrate Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto:
in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:
Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare .
Bibliografia
Voci correlate Reticolo di Bravais Cristallo Cristallografia Sistema cristallino
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Categoria:Reticoli cristallini