In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham.
Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi -dimensionali".
Definizione Preliminari
Sia una varietà differenziabile di dimensione e un intero con
Tutte le -forme differenziali su formano uno spazio vettoriale reale che viene indicato con
Questo spazio ha dimensione infinita. In particolare, per questo spazio è lo spazio delle funzioni differenziabili a valori in .
Il differenziale esterno di una forma differenziale è una -forma, indicata con il simbolo . Il differenziale definisce quindi una mappa
che risulta essere una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali.
Complesso di cocatene Il complesso di De Rham è il complesso di cocatene seguente:
Poiché ogni forma esatta è anche chiusa, vale per ogni forma , ossia
D'altra parte, una forma chiusa può non essere esatta, e la coomologia di De Rham misura proprio questo fenomeno; la coomologia è definita come l'omologia del complesso di De Rham nel modo seguente. Siano
i sottospazi formati rispettivamente dalle -forme chiuse ed il sottospazio delle -forme esatte. Poiché ogni forma esatta è chiusa, vale l'inclusione
Il -esimo gruppo di coomologia di De Rham è definito come il quoziente di questi due spazi:
Al contrario di , i gruppi di coomologia sono generalmente di dimensione finita.
Bibliografia
Voci correlate Coomologia Omologia (algebra) Forma differenziale
Categoria:Forme differenziali Categoria:Topologia algebrica