In matematica e fisica teorica, il bereziniano o il superdeterminante è una generalizzazione del determinante al caso di una supermatrice. Il nome deriva dal matematico Felix BerezinA. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966). Il bereziniano svolge un ruolo analogo a quello del determinante nel valutare i cambiamenti di coordinate per le integrazioni su una supervarietà.
Definizione
Il bereziniano è definito univocamente dalla definizione delle seguenti due proprietà A. Berezin, The Method of Second Quantization, New York, Academic Press, (1966):
dove con str(X) indichiamo la supertraccia di X. A differenza del determinante classico, il Bereziniano è definito solo per una supermatrice invertibile.
Il caso più semplice da considerare è il bereziniano di una supermatrice con valori in un campo K. Le supermatrici di questo tipo rappresentano trasformazioni lineari di un superspazio vettoriale su K. Una particolare forma di supermatrice è una matrice a blocchi del tipo:
Tale matrice è invertibile se e solo se A e D sono matrici invertibili su K. In questo caso particolare il bereziniano di X è dato da: . La ragione dell'esponente negativo deriva dalla formula di sostituzione nel caso degli integrali di Grassman.
Più in generale se si considerano le matrici scritte in un'algebra supercommutativa R, una supermatrice è scritta nella forma:
dove A e D sono matrici simmetriche, mentre B e C sono matrici antisimmetriche. Siccome la matrice X è invertibile se e solo se A a D sono invertibili in un anello commutativo R0 (la parte pari della sottoalgebra di R). In questo caso il bereziniano è dato da:
o, equivalentemente, è:
Queste formule sono ben definite in quanto esse sono relative ai determinanti di matrici i cui elementi sono nell'anello commutativo R0.
Numero di Grassmann
In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari ,
In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:
L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2n. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:
che insieme all'unità 1, formano uno spazio 23=8-dimensionale.
L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).
Rappresentazione matriciale
I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann e . Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4:
In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da matrici quadrate 2n × 2n. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2n stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.
Note
Bibliografia
Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
Voci correlate
Algebra di Grassmann Integrale di Berezin Numeri di Grassmann Superspazio
Collegamenti esterni
Categoria:Algebra associativa Categoria:Fisica matematica Categoria:Supersimmetria