Nelle telecomunicazioni, phase-shift keying (PSK), in italiano modulazione a spostamento di fase, è un tipo di modulazione digitale in cui l'informazione è codificata tramite la fase della portante sinusoidale impiegata per la sua trasmissione. In particolare, questo tipo di modulazione è caratterizzato dalla modulazione solo in fase, con l'ampiezza e la frequenza del segnale non modulate e costanti nel tempo.
Questo tipo di modulazione trova largo impiego in applicazioni primarie come: comunicazioni militari, satellitari e spaziali; Wi-Fi; Bluetooth; RFID; telefonia cellulare; GPS e trasmissioni su fibra ottica a elevata capacità.
Principio generale Negli schemi di modulazione digitale, i dati sono rappresentati e trasmessi usando un numero finito di segnali differenti. Nel caso della modulazione PSK, il segnale associato ai simboli, che possono essere composti da uno o più bit, è ottenuto tramite un salto di fase applicato a una portante sinusoidale di frequenza e ampiezza costanti. Ogni simbolo viene associato in modo predeterminato a un valore di fase prefissato: in questo modo, a un numero finito di simboli corrisponde un numero finito di fasi differenti.
Il modulatore, ogni volta in cui deve trasmettere un simbolo, modifica la fase della portante secondo il valore associato al simbolo stesso dal codice di assegnazione prescelto; questa variazione di fase viene mantenuta fino alla trasmissione del simbolo successivo. In ricezione, il demodulatore utilizza una portante di riferimento, che è la replica della portante non modulata utilizzata dal trasmettitore; in questo modo è in grado di determinare, per confronto tra il segnale di riferimento e il segnale ricevuto, l'ampiezza dello sfasamento in corrispondenza di ogni simbolo e quindi, noto il codice, può identificare il valore binario associato al simbolo. Campionando il valore della fase ricevuta in modo periodico, ad ogni intervallo di simbolo, si può quindi ricostruire in ricezione il flusso informativo, ossia la sequenza di bit trasmessi.
Fenomeni di propagazione quali attenuazione, interferenze, rumore e distorsione possono introdurre errori nella fase del segnale ricevuto, che possono riflettersi in un errore nella decodifica del simbolo. Per minimizzare questo problema, i valori di fase discreti usati per la modulazione vengono scelti in modo da essere equidistanti tra loro, sulla base anche del numero di simboli previsti dalla codifica.
Come accade anche per la modulazione di fase analogica, tale tipo di modulazione ha il vantaggio di presentare un'ottima robustezza nei confronti dell'errore di ampiezza dei simboli ricevuti in quanto l'informazione è codificata nella fase e una variazione nell'ampiezza della portante è sostanzialmente ininfluente (eccetto il caso di azzeramento completo). Inoltre, la modulazione PSK consente di usare la banda in maniera più efficiente, potendo a parità di banda trasmettere più simboli differenti semplicemente cambiando la fase, senza modificare o modulare la frequenza di trasmissione.
Dal punto di vista realizzativo, un aspetto critico è dato dal circuito di demodulazione, che per poter funzionare correttamente, oltre a esser fortemente dipendente dal sistema di codifica utilizzato, richiede che la portante di riferimento sia il più possibile identica e sincronizzata, sia in frequenza che in fase, alla portante non modulata usata dal trasmettitore (modulazione e demodulazione di tipo coerente, Coherent PSK o CPSK), o che comunque presenti un margine di errore di sincronizzazione molto ridotto, per limitare possibili errori di decodifica. Per ottenere questo elevato livello di precisione nella sincronizzazione, è necessario ricorrere a tecniche e algoritmi sofisticati e complessi. Per semplificare questi aspetti, sono state sviluppate tecniche di modulazione non coerenti, che non impongono al ricevitore di ricostruire una replica esatta della portante originaria ma che consentono comunque di determinare le variazioni di fase; questo è il meccanismo alla base della modulazione PSK di tipo differenziale (Differential PSK, DPSK). Queste tecniche semplificano in modo significativo l'implementazione del ricevitore e del demodulatore, anche se comportano una maggiore sensibilità agli errori di demodulazione.
Da un punto di vista dello spettro, la modulazione PSK presenta un andamento identico a quello ASK; in particolare, a parità del numero di simboli e usando impulsi a banda minima come il coseno rialzato, l'efficienza spettrale in condizioni nominali è identica.
Vantaggi e svantaggi Rispetto ad altri schemi di modulazione usati nello stesso campo di applicazioni, in particolare rispetto alla modulazione QAM, la modulazione PSK risulta avere un'efficienza energetica migliore e una maggiore robustezza nei confronti del rumore, che la rende adatta ad applicazioni in cui l'affidabilità prevale sulla velocità di comunicazione. Di contro, escludendo l'impiego nella trasmissione ottica, è in generale limitata per quanto riguarda le velocità di trasmissione ed ha un'efficienza spettrale inferiore, essendo più limitata nel numero di bit per simbolo che possono essere utilizzati.
Formulazione matematica La modulazione PSK nel dominio del tempo è descritta dalla formula generale:
dove: è il segnale modulato è l'ampiezza della portante, che nel caso della modulazione PSK ideale è costante nel tempo è la velocità angolare della portante, espressa in radianti per secondo (rad/s), legata alla frequenza della portante dalla relazione , anch'essa idealmente costante nel tempo è la modulazione di fase associata alla sequenza di simboli , espressa in radianti è il tempo, espresso in secondi.
A questa formula corrisponde l'inviluppo complesso:
Essendo costante, anche l'inviluppo è costante. Rappresentato su un piano complesso, questo inviluppo identifica una circonferenza di raggio centrata sull'origine degli assi. Ogni punto della circonferenza rappresenta un valore di fase di coordinate .
Indicato con il numero di bit associati ad ogni simbolo, il numero di simboli distinti, ovvero i possibili valori distinti della fase, è dato da . Per semplicità, viene spesso indicato anche come livello della modulazione PSK. Applicando quindi la condizione di equispaziatura, può assumere ad esempio i valori dati da:
per
Nella modulazione numerica PSK, la fase rimane a un valore costante per tutta la durata del tempo di simbolo . Da questo deriva che la funzione si può descrivere come una successione di intervalli di durata uguale e di ampiezza dipendente dal simbolo da trasmettere durante l'intervallo. Formalmente, questo viene espresso come:
dove è la funzione rettangolo applicata all'intervallo di simbolo.
Nella rappresentazione sul piano complesso, essendo modulata solo la fase, questi valori formano una costellazione di punti equidistanziati sulla circonferenza di raggio , a differenza di altri tipi di modulazione a frequenza o ampiezza variabili (come ad esempio QAM) per le quali i punti della costellazione non sono disposti lungo la circonferenza. Questa rappresentazione grafica costituisce il riferimento nominale per la mappatura dei simboli e per l'analisi dei relativi metodi di trasmissione e di decisione in ricezione, probabilità di errore compresa.
Formulazioni equivalenti Poiché la portante modulata è un segnale analogico periodico di tipo (co)sinusoidale, è possibile esprimere la formula generale di una modulazione PSK in funzione della potenza complessiva del segnale, partendo dalla relazione che lega tale potenza al valore dell'ampiezza:
da cui, per sostituzione, si ottiene:
A partire da questa relazione, applicando la definizione di potenza del segnale (energia sviluppata per unità di tempo) rispetto al tempo di trasmissione di un bit , indicata con l'energia per bit, si ottiene l'espressione in funzione della frequenza di bit
per cui la modulazione PSK si può esprimere formalmente anche come:
Queste formulazioni alternative, essendo di carattere generale e indipendenti dal livello di quantizzazione delle fasi, sono utili nelle analisi degli effetti del rumore e delle probabilità di errore dei vari schemi di modulazione PSK.
Modulazione BPSK
Lo schema di modulazione più semplice è la modulazione PSK binaria (Binary PSK, BPSK) che utilizza due soli valori di fase (), a cui corrispondono simboli composti da un solo bit. In questo caso, i valori di fase possibili sono solo due:
che rappresentano le cifre binarie "0" e "1".
A livello implementativo, il trasmettitore può essere realizzato in modo relativamente semplice tramite una modulazione di ampiezza pilotata da una codifica di linea di tipo NRZ bipolare, in cui i simboli "0" e "1" sono associati a livelli di ampiezza pari rispettivamente a e . Detta questa codifica, il segnale modulato risultante è:
che corrisponde all'equazione che definisce la modulazione PSK, dato che nell'intervallo di simbolo mantiene il suo valore costante.
Questo schema è di tipo coerente, quindi il ricevitore deve avere o estrarre un segnale di riferimento locale che sia allineato, in frequenza e in fase, a quello della portante del trasmettitore. Questo si può ottenere per esempio inserendo in trasmissione un tono pilota a cui il ricevitore può agganciarsi con un PLL o ricorrendo a circuiti più complessi per l'estrazione del sincronismo dal segnale ricevuto stesso.
La demodulazione avviene moltiplicando tra loro il segnale di riferimento e il segnale ricevuto. In questo modo si ottiene il segnale:
La componente è a frequenza doppia rispetto a quella del segnale utile e può essere eliminata tramite un filtro passa basso che consente di ricostruire in banda base il segnale binario.
Il vantaggio di questo tipo di modulazione è la robustezza nei confronti del rumore e delle interferenze, che si ripercuotono soprattutto sull'ampiezza del segnale ma che hanno effetti minori sulla fase, nonché la possibilità di utilizzare in trasmissione livelli di potenza prossimi al massimo, dato che eventuali distorsioni in ampiezza sono ininfluenti sulla fase. Questo rende questo tipo di modulazione particolarmente adatto per canali soggetti a vincoli sulla potenza massima.
Per quanto riguarda la densità spettrale di potenza, indicata con la potenza del segnale e la frequenza della portante, questa è data dalla relazione:
tale per cui:
dove con = frequenza, = tempo di simbolo
Dato che nella modulazione BPSK i simboli sono costituiti da un solo bit, il periodo di simbolo coincide col periodo di bit e si ha la relazione , per cui la densità di potenza in funzione del tempo di bit, ossia in funzione della bit rate, si può esprimere anche come:
La funzione presenta degli zeri in corrispondenza dei multipli positivi e negativi del tempo di simbolo, ossia in corrispondenza dei punti , con numero intero relativo diverso da zero, mentre ha il suo picco per . Graficamente, la densità di potenza ha un andamento rappresentato da un lobo centrale principale e un numero infinito di lobi secondari ad ampiezza decrescente, il cui contributo in termini di densità di potenza è di fatto trascurabile. La larghezza in frequenza del lobo principale su cui è concentrata praticamente l'intera densità di potenza è pari a due volte la frequenza di simbolo o, in termini di tempo di simbolo, pari a , il che rappresenta un utilizzo non molto efficiente della banda.