La funzione è una funzione aritmetica, definita come la somma di tutti i divisori positivi di un numero naturale :
La funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle -esime potenze dei divisori di :
Valori della funzione Per , il valore di è sempre maggiore o uguale del numero stesso più , perché ogni numero e sono divisori del numero stesso: si ha , con l'uguaglianza se e solo se è un numero primo. Se invece è composto, vale la disuguaglianza più forte , con l'uguaglianza se e solo se il numero è il quadrato di un numero primo. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18 n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 σ(n) 12 28 14 24 24 31 18 39 20 42 Proprietà La funzione sigma è una funzione moltiplicativa, ma non completamente moltiplicativa; da questo si può ricavare una formula compatta per il calcolo di questa funzione. Sia .
essendo una serie geometrica, e quindi
Soddisfa l'identità
Altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono
e
dove è la funzione zeta di Riemann.
La funzione è anche nota come funzione tau.
Casi particolari La funzione sigma generalizzata con , restituisce il numero totale di divisori di . Sia n scomponibile in fattori primi come , allora
Ad esempio, il numero di divisori del numero può essere calcolato come
In effetti il numero 24 ha 8 divisori (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24).
Codice In C:
int sigma( int N ){//la funzione riceve un intero naturale N e restituisce la somma dei suoi divisori int i, res=0; if (N<1) return 0;//se N è non positivo, restituisce zero for (i=1; i<=N; i++) if( !(N%i) ) // equivalente a (N%i)==0 res+=i; return res; }
Voci correlate Funzione tau sui positivi
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Categoria:Funzioni moltiplicative