Nel contesto dell'analisi matematica, il criterio di Dirichlet è un metodo per determinare la convergenza di particolari serie numeriche.
Enunciato Siano una successione di numeri complessi e una successione di numeri reali tali che:
per ogni intero positivo dove è indipendente dalla scelta di .
Allora converge in
Dimostrazione Sia , e sia tale che per ogni intero non negativo Allora, fissato un esiste un intero tale che Per ogni , applicando la sommazione per parti, la disuguaglianza triangolare e infine lo sviluppo della serie telescopica si ha:
(dove, nella seconda maggiorazione, si è usato il fatto che per ipotesi). Allora, per il criterio di Cauchy, la serie è convergente.
Corollari Criterio di Leibniz
Il criterio di Dirichlet è una evidente generalizzazione del criterio di Leibniz, dove la successione è la successione ..
Convergenza di una serie di potenze
Sia una serie di potenze il cui raggio di convergenza è 1, e sia una successione non crescente e infinitesima per . Allora la serie di potenze converge in tutti i punti del cerchio tranne al più in .
Sia infatti ; si ha, per :
quindi la serie converge per il criterio di Dirichlet.
Note
Bibliografia
Voci correlate Criteri di convergenza Criterio di Leibniz Sommazione per parti
Collegamenti esterni
Categoria:Serie matematiche