In algebra elementare la legge di annullamento del prodotto afferma che un prodotto di numeri reali è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero, ovvero che lo zero svolge il ruolo di elemento assorbente della moltiplicazione.
Nello specifico caso con due fattori e , in formula:
Si può generalizzare questo concetto in algebra astratta, nella teoria degli anelli, con enunciato pressoché uguale, ove con zero si intenderà lo zero dell'anelloLa proprietà inversa, ovvero che per ogni elemento x il prodotto , fa parte delle proprietà di base degli anelli. Un anello per cui valga tale legge prende il nome di dominio di integrità.
È possibile dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sicuramente verificata sui corpi, in virtù dell'esistenza dell'elemento inverso rispetto al prodotto per ogni elemento diverso da 0.
Dimostrazione Si assuma per assurdo che esista una coppia di elementi appartenenti a un corpo entrambi non nulli, tali che .
Moltiplicando a sinistra entrambi i membri per l'elemento inverso di e applicando le proprietà dei corpi si ottiene:
Poiché in un corpo
infatti
quindi, per la legge di cancellazione, si ha
e quindi
che contraddice l'ipotesi che entrambi gli elementi fossero non nulli.
Note
Voci correlate Anello (algebra) Corpo (matematica) Dominio di integrità Moltiplicazione
Collegamenti esterni
Categoria:Algebra elementare