In matematica, una combinazione lineare è un'operazione principalmente usata nell'ambito dell'algebra lineare. Una combinazione lineare di alcuni elementi di uno spazio vettoriale è un'espressione del tipo:.
dove i sono elementi dello spazio vettoriale e gli sono scalari. Il risultato di questa combinazione è un nuovo elemento dello spazio. Questa nozione molto generale si applica in vari contesti: si possono scrivere ad esempio combinazioni lineari di vettori nel piano o nello spazio, di matrici, di polinomi o di funzioni.
Definizioni Combinazione lineare Sia uno spazio vettoriale su un campo . Siano vettori di . Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura:
dove sono scalari, cioè elementi di . Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti arbitrariamente e sono detti coefficienti della combinazione lineare.
Combinazione affine e convessa
Se il campo è il campo dei numeri reali e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè:
per ogni , la combinazione è chiamata positiva.
Quando i coefficienti hanno come somma 1:
la combinazione è detta affine. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta combinazione convessa. Entrambe queste nozioni sono utili in geometria affine, per definire le nozioni di coordinate affini e coordinate baricentriche.
Proprietà Unicità della combinazione In genere, cioè per una generica scelta dei vettori , il vettore:
non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: lo stesso può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori .
Se i vettori sono indipendenti, la combinazione lineare è però unica.
Sottospazio generato
I vettori che si ottengono come combinazioni lineari di vettori fissati, al variare degli scalari , formano un sottospazio vettoriale di , chiamato sottospazio generato. Si indica generalmente con:
Generalizzazioni Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare di due numeri interi e , dove e sono coefficienti interi.
Note
Bibliografia
Voci correlate Sottospazio generato Dipendenza lineare Dimensione (spazio vettoriale) Estrazione di una base Combinazione lineare di orbitali atomici Combinazione convessa Insieme di generatori Collegamenti esterni
Categoria:Algebra lineare