Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango della matrice completa e della matrice incompleta.
Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, che ne fu l'ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.
Enunciato Consideriamo il sistema di equazioni lineari:
nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo , quale ad esempio quello dei numeri reali o dei numeri complessi .
Il sistema è rappresentato dalla matrice
associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti con un'ulteriore colonna , detta colonna dei termini noti. Le matrici e sono dette rispettivamente incompleta e completa.
Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:
Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di di dimensione . In particolare, se il campo è infinito, si ha che se , allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.Il fatto che le soluzioni formano un sottospazio affine di dimensione si esprime anche dicendo che queste hanno gradi di libertà. Alcuni testi sintetizzano questo fatto scrivendo, con abuso di notazione, che ci sono soluzioni. Valgono le seguenti due relazioni:
dove è il numero di incognite, e è il numero di equazioni del sistema.
Dimostrazione Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo la matrice colonna delle incognite
ed usando il prodotto fra matrici:
Questa relazione esprime la richiesta che il vettore dei termini noti si ottenga dall'applicazione lineare , associata alla matrice dei coefficienti, applicata al vettore delle incognite :
Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se è l'immagine di almeno un vettore di , ossia se e solo se fa parte dell'immagine di . Si noti che l'immagine di è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di . Quindi è contenuto nell'immagine se e solo se lo spazio generato dalle colonne di contiene , cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di è uguale allo spazio generato dalle colonne di . Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.
Se esiste una soluzione , ogni altra soluzione si scrive come , dove è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:.
infatti
Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore , è quindi il sottospazio affine dato da
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale a , ossia alla dimensione del nucleo di che è un sottospazio vettoriale di di dimensione per il teorema della dimensione. Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore , è quindi un sottospazio affine della stessa dimensione..
Se , allora , quindi il nucleo contiene solo il vettore nullo e la soluzione è unica. Se invece , allora , ossia esiste almeno un vettore nel nucleo. Se è infinito, i vettori con sono tutti distinti e quindi le soluzioni sono infinite.
Note
Bibliografia
Voci correlate Rango (algebra lineare) Sistema di equazioni lineari Sottospazio affine Teorema del rango
Collegamenti esterni
Rouché-Capelli