In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi (come ), i numeri razionali (come ) e i numeri irrazionali algebrici (come ) e trascendenti (come ed ). L'insieme dei numeri reali è generalmente indicato con la lettera R o .
I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale.
La definizione formale dei numeri reali ha rappresentato uno degli sviluppi più significativi del XIX secolo. Tra le definizioni maggiormente adottate oggi figurano le classi di equivalenza di successioni di Cauchy di numeri razionali, le sezioni di Dedekind, una ridefinizione del termine "rappresentazione decimale" e una definizione assiomatica come unico campo archimedeo completo ordinato.
I termini reale e immaginario sono stati introdotti ne La Géometrie di René Descartes (1637), relativamente allo studio delle radici delle equazioni. Per estensione diversi autori hanno cominciato a parlare di numeri reali e numeri immaginari. Nel 1874 appare un articolo fondamentale di Georg Cantor nel quale l'autore prende in considerazione l'insieme dei numeri reali dimostrando che tale insieme non è numerabile.
Rappresentazione e uso dei numeri reali I numeri reali possono rappresentare qualsiasi grandezza fisica, come il prezzo di un prodotto, la distanza temporale fra due eventi, l'altitudine (positiva o negativa) di un sito geografico, la massa di un atomo o la distanza fra galassie. Gran parte dei numeri reali è usata quotidianamente, ad esempio in economia, informatica, matematica, fisica o ingegneria.
Di fatto, la maggior parte delle volte sono usati solo alcuni sottoinsiemi: i numeri naturali; i numeri interi; i numeri razionali, cioè i numeri esprimibili sotto forma di frazione; i numeri irrazionali, cioè i numeri che non sono esprimibili sotto forma di frazione, e non fanno quindi parte dei numeri razionali, come , e e π.
Parallelamente a questa suddivisione, è possibile evidenziarne un'altra: l'insieme dei numeri algebrici, che comprende tutti e soli i numeri che possono essere soluzione di un'equazione a coefficienti razionali, come ; l'insieme dei numeri trascendenti, formato dai numeri non algebrici, come e e π.
Questi insiemi, benché infiniti, hanno cardinalità numerabile, tranne l'insieme dei numeri irrazionali e l'insieme dei numeri trascendenti, che hanno la cardinalità del continuo.
Rappresentazione decimale Ogni numero reale può essere identificato dalla sua numerazione decimale, ovvero mediante l'elenco delle cifre decimali della sua parte intera e, separate da una virgola, l'elenco delle cifre della parte frazionaria. In generale il numero di cifre decimali della parte frazionaria può essere infinito. Per questo in pratica il numero reale viene espresso presentando solo le prime cifre decimali come ad esempio nella scrittura dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre, infinite, cifre. Con questo procedimento di approssimazione è possibile presentare un numero razionale arbitrariamente vicino al numero reale in questione. Più sono le cifre decimali, più il numero razionale è vicino al numero reale che si vuole rappresentare, e maggiore quindi è la precisione dell'approssimazione. Ad esempio, pi greco può essere approssimato come
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...
La rappresentazione decimale, molto utile nelle scienze applicate, presenta molti difetti dal punto di vista matematico, ad esempio: <li> Alcuni numeri razionali hanno due espansioni decimali diverse, ad esempio 0,999...:
Si può dimostrare che l'espansione decimale di un reale è unica a meno che il numero non sia della forma con e interi non negativi. La somma e la moltiplicazione fra numeri reali non si effettuano "cifra per cifra" nel modo abituale per gli interi, perché dovremmo "partire dalla cifra più a destra" e questo non è praticamente possibile poiché con questa notazione si hanno infinite cifre dopo la virgola. La rappresentazione è ancorata alla scelta della base 10, e quindi non è "canonica" nel senso che potrebbero esserci delle proprietà del numero che vengono evidenziate solo perché tale numero è rappresentato in base 10 e che non si presenterebbero se fosse rappresentato in un'altra base o, più in generale, in un'altra notazione. Per questo motivo i matematici preferiscono definire e trattare i numeri reali con altre notazioni più astratte.
Operazioni sui numeri reali
Sui numeri reali è possibile fare tutte le operazioni definite per i razionali, quali somma, differenza, prodotto, divisione per un numero diverso da zero ed elevamento a potenza con base positiva. Tali operazioni possono essere definite tramite il calcolo infinitesimale oppure è possibile estendere ai numeri reali, mediante approssimazione, le definizioni delle medesime operazioni date sui numeri razionali.
I numeri reali nella scienza e nella tecnologia Dal punto di vista fisico, ogni esperimento è soggetto in modo intrinseco a un errore e quindi questo tipo di rappresentazione approssimata dei numeri reali non causa ulteriori problemi.
In informatica, i computer possono solo approssimare i numeri reali con numeri razionali: queste approssimazioni sono realizzate ad esempio in modo efficiente tramite la scrittura in virgola mobile. Alcuni programmi riescono a trattare alcuni numeri non razionali in modo esatto: ad esempio alcuni numeri algebrici possono essere descritti utilizzando la loro descrizione algebrica (come per esempio ) piuttosto che la loro approssimazione decimale.
Più in generale, l'informatica può trattare in modo preciso solo i numeri calcolabili: un numero reale è calcolabile se esiste un algoritmo che produce le sue cifre. Poiché esiste un'infinità numerabile di algoritmi ma un'infinità non numerabile di numeri reali, "quasi tutti" i numeri reali non sono calcolabili.
In matematica, i numeri reali giocano un ruolo fondamentale, e vengono continuamente manipolati, nonostante gran parte di questi non siano calcolabili. Il costruttivismo è una corrente matematica che accetta l'esistenza solo dei reali calcolabili.
Storia Frazioni La necessità di dare un nome ad alcune grandezze misurabili data dell'antichità. La prima risposta, realizzata dai Sumeri e nell'antico Egitto, fu quella di costruire le frazioni (a⁄b). Questo strumento permise subito la misura di qualsiasi grandezza positiva con precisione arbitraria.
Numeri come lunghezze
La prima formalizzazione matematica nota è quella di Euclide nel III secolo a.C. Negli Elementi di Euclide, la geometria è formalizzata con assiomi, teoremi e dimostrazioni. Qui i numeri sono messi in corrispondenza con le lunghezze dei segmenti.
L'approccio di Euclide mette in evidenza che i numeri dell'epoca (le frazioni, cioè i numeri razionali) non potevano svolgere direttamente il ruolo di rappresentare le lunghezze di segmenti.
Un caso particolare del teorema di Pitagora mostra infatti che la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza , è tale che
D'altra parte, è facile mostrare che una tale non è esprimibile come frazione: un risultato che risale alla scuola pitagorica ed era ben noto a Euclide. Una dimostrazione del risultato pitagorico, citata da Paul Erdős come una delle più belle di tutta la matematica, è mostrata a destra.
Per risolvere l'apparente contraddizione Euclide, nel V libro degli Elementi, sviluppa una raffinata teoria dei rapporti tra grandezze (anche tra loro incommensurabili). Occorreva per questo innanzitutto avere un criterio per giudicare l'eventuale uguaglianza di due rapporti tra incommensurabili. Euclide fornisce un tale criterio nelle definizioni 4-9 del V libro, che riportiamo in una forma leggermente modernizzata nelle notazioni:
Date quattro grandezze , si dice che se e solo se per ogni coppia di naturali, , , si verifica sempre una delle seguenti tre possibilità: e, contemporaneamente, ; e, contemporaneamente, ; e, contemporaneamente, .
Grazie alla definizione precedente di uguaglianza tra rapporti anche i rapporti tra incommensurabili divennero un legittimo oggetto di studio della matematica e la loro eventuale uguaglianza era decisa semplicemente confrontando multipli interi delle grandezze considerate. In altre parole ogni rapporto tra incommensurabili era caratterizzato dal suo comportamento rispetto a tutte le coppie di naturali.
Altri sviluppi della matematica ellenistica che anticiparono in parte la moderna teoria dei reali furono quelli presenti nel metodo che fu poi detto di esaustione; ricordiamo che anche il primo calcolo di somme di serie risale ad Archimede (che sommò la serie geometrica di ragione ).
Sviluppo decimale illimitato non periodico
Con l'ausilio delle frazioni i greci potevano esprimere con precisione arbitraria qualsiasi numero reale. L'assenza di un sistema di numerazione adeguato rendeva però difficili le operazioni elementari fra queste quantità, quali ad esempio la somma o la divisione.
Si deve attendere fino al V secolo per vedere finalmente riconosciuto lo zero come numero dalla scuola indiana, e per lo sviluppo del sistema di numerazione decimale.
Con il sistema di numerazione decimale compare un nuovo problema. Con questo sistema, ogni frazione possiede uno sviluppo decimale periodico ovvero la successione di decimali reitera all'infinito la stessa sequenza di numeri. Che significato dare a un oggetto avente uno sviluppo non periodico? Un esempio è il seguente
0,1010010001... dove il numero di zeri tra due "1" consecutivi cresce a ogni passo.
Successioni e serie Nella seconda metà del XVII secolo, si assiste a un interessamento straordinario da parte dei matematici al calcolo delle serie e successioni. Tra questi, Nicolaus Mercator, i Bernoulli, James Gregory, Gottfried Leibniz lavorano su delle serie che sembrano convergere a un limite non razionale, come ad esempio: la serie di Mercator: che converge a la serie di Grégory: che converge a Inoltre Joseph Liouville mostra nel 1844 l'esistenza di numeri trascendenti, cioè di numeri che non sono radici di nessun polinomio a coefficienti interi. Non è quindi sufficiente aggiungere i numeri algebrici ai razionali per ottenere "tutti i numeri".
Calcolo infinitesimale
Durante la seconda parte del XVII secolo, Isaac Newton e Gottfried Leibniz inventano una nuova branca della matematica, chiamata adesso analisi matematica, e conosciuta all'epoca come calcolo infinitesimale. Questa raggiunge subito la massima notorietà perché alla base di una nuova teoria fisica universale: la meccanica classica e la teoria della gravitazione universale.
Il calcolo infinitesimale necessita di un insieme di numeri più grande dei razionali, che "comprenda tutti i buchi", in modo da stare tutti su una retta, detta retta reale.
Nel linguaggio moderno, la proprietà necessaria al calcolo è la completezza, e può essere espressa nel modo seguente:
ogni successione di Cauchy è convergente.
Tale nozione, introdotta successivamente proprio da Cauchy, è estremamente importante in tutti i settori della matematica, e sarà anche all'origine della topologia all'inizio del XX secolo.
Costruzione dei numeri reali
Il calcolo infinitesimale permette un'intuizione sempre più precisa sulla topologia dei numeri. Sarà necessario un ulteriore secolo per formalizzare in modo preciso l'insieme dei numeri reali, cioè per "tappare i buchi" lasciati dai razionali.
Come spesso accade in matematica, quando il problema è maturo, la soluzione arriva contemporaneamente da due ricercatori.