In analisi complessa, il teorema dei residui è uno strumento per calcolare gli integrali di contorno di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.
Enunciato Sia un insieme aperto e semplicemente connesso del piano complesso . Sia olomorfa su ad eccezione che su un insieme su cui ha singolarità isolate. Sia una curva chiusa regolare a tratti in . Allora l'integrale della funzione su è dato da:
dove denota il residuo di in , e è l'indice di avvolgimento della curva attorno a .
L'indice di avvolgimento è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva si avvolge attorno ad ; esso è positivo se gira in senso antiorario attorno a e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.
Dimostrazione Si consideri il dominio all'interno della curva . Per compattezza tale dominio contiene un numero finito di singolarità isolate all'interno di . Si considerino multiplamente connesso, dove sono le curve che circondano i punti di singolarità percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:
ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo -esimo, per cui:
Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.
Somma dei residui Nel caso in cui sia il piano complesso, e abbia un numero finito di singolarità isolate, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente. Sia
una funzione olomorfa e sia una curva semplice chiusa e regolare a tratti in . La somma dei residui nei punti è sempre zero. In formule:
dove è il residuo all'infinito di .
Bibliografia
Voci correlate Analisi complessa Residuo (analisi complessa) Formula integrale di Cauchy Lemma del cerchio grande Lemma del cerchio piccolo Lemma di Jordan
Collegamenti esterni
Residui