In matematica i polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).
Definizioni Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.
Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:
dove denota il fattoriale crescente e dove .
Mediante la variante della precedente:
Mediante una formula alla Rodriguez:
Mediante la espressione polinomiale esplicita
Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.
Per si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso . La corrispondente relazione di ortogonalità è
Polinomi di Jacobi shiftati Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come
Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:
Collegamenti con altri polinomi speciali
Per si riducono ai polinomi di Legendre.
Per si riducono ai polinomi di Gegenbauer:
Per si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:
Espressioni esplicite I primi polinomi della successione graduale sono:
Bibliografia Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, ISBN 0486612724. Vedi anche chapter 22
Collegamenti esterni Jacobi Polynomials in MathWorld
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