La teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck (TG) è una teoria assiomatica degli insiemi così chiamata in riferimento ai matematici Alfred Tarski e Alexander Grothendieck. Essa è caratterizzata dall'Assioma di Tarski ed è un'estensione non-conservativa della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel.
Assiomi I primi assiomi di TG sono uguali alle loro controparti di ZF: I quantificatori logici spaziano solo su insiemi; Qualsiasi cosa è un insieme (la stessa ontologia di ZFC). Assioma di estensionalità: Due insiemi sono identici se e solo se hanno gli stessi elementi. Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme di cui nessun altro insieme è elemento. Assioma di regolarità: Nessun insieme è elemento di se stesso e catene circolari di appartenenza non sono possibili. Assioma di rimpiazzamento: L'immagine di una funzione è un insieme. Come già detto l'assioma caratterizzante della teoria è il seguente: Assioma di Tarski (adattato da Tarski 1939Tarski (1939)): Per ogni insieme esiste un insieme tale che . Per ogni ogni sottoinsieme di è un elemento di . Per ogni l'insieme della parti di è un elemento di . Ogni sottoinsieme di la cui cardinalità è inferiore di quella di è un elemento di .
Quest'ultimo implica l'assioma della coppia, l'assioma dell'insieme potenza, l'assioma dell'unione, assioma dell'infinito e l'assioma della sceltaTarski (1938); dunque rende TG molto più forte di ZFC.
Note
Bibliografia Blass, Andreas, Dimitriou, I. M., and Löwe, Benedikt (2007) "Inaccessible Cardinals without the Axiom of Choice," Fundamenta Mathematicae 194: 179-89.
Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
Collegamenti esterni Trybulec, Andrzej, 1989, "Tarski–Grothendieck Set Theory", Journal of Formalized Mathematics. Metamath: "Proof Explorer Home Page." Scroll down to "Grothendieck's Axiom." PlanetMath: "Tarski's Axiom"
Categoria:Teoria degli insiemi