In matematica, la chiusura di un insieme è il più piccolo insieme che contiene quello iniziale e che soddisfa una specifica proprietà. In altre parole, calcolare la chiusura significa aggiungere all'insieme di partenza solo il 'minimo indispensabile' per fargli acquisire la nuova proprietà, senza aggiungere nessun elemento superfluo.
Topologia
In topologia, la chiusura di un insieme S è in parole povere l'insieme di tutti i punti di aderenza per S. La chiusura di S è talvolta definita come l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono S, o come il più piccolo insieme chiuso contenente S.
Relazioni binarie Consideriamo un insieme di proprietà di cui le relazioni binarie possono godere e sia una relazione binaria su . Chiamiamo chiusura di rispetto a o di una relazione tale che:
; soddisfa tutte le proprietà contenute in ; se è una relazione che soddisfa tutte le proprietà contenute in e che contiene , allora deve valere che .
Questo significa che se esiste la relazione essa è la minima relazione che contiene e possiede tutte le proprietà contenute in ..
Operazioni
Il termine chiusura si incontra anche lavorando con gli insiemi numerici e le usuali operazioni. In breve, si può dire che un insieme è chiuso rispetto ad un'operazione se comunque si prendono due elementi di quell'insieme e si esegue l'operazione stabilita, il risultato di tale operazione appartiene ancora all'insieme stesso; insomma, eseguendo l'operazione non si esce dall'insieme.
Ad esempio, detto l'insieme dei numeri naturali, si nota che è chiuso rispetto all'operazione di addizione; infatti .
Note
Bibliografia
Categoria:Matematica di base Categoria:Teoria degli insiemi