In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.
Definizione Data una matrice , indicando con la sua trasposta e con l'asterisco l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata è data da:
In termini degli elementi vale la relazione:
cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:
Ad esempio:
Proprietà Valgono le seguenti proprietà:
e in generale:
Dalle precedenti proprietà si può ricavare
infatti
L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.
Denotando con il prodotto hermitiano standard fra vettori di :
Matrici hermitiane
Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano
Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:
è reale.
Ogni matrice quadrata complessa può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:
Bibliografia F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)
Voci correlate Matrice (matematica) Matrice hermitiana Matrice antihermitiana Matrice normale Matrice simmetrica Numero complesso Operatore aggiunto Operatore autoaggiunto Quoziente di Rayleigh Glossario sulle matrici
Collegamenti esterni
Trasposta coniugata