In teoria della probabilità e statistica, la distribuzione normale multivariata o distribuzione gaussiana multivariata o vettore gaussiano è una generalizzazione della distribuzione normale (univariata) a dimensioni più elevate. Una definizione è che un vettore di variabili aleatorie ha una distribuzione normale k-variata se ogni combinazione lineare delle sue k componenti ha distribuzione normale univariata. La sua importanza deriva principalmente dal teorema del limite centrale multivariato. La distribuzione normale multivariata è spesso utilizzata per descrivere, almeno approssimativamente, un qualunque insieme di variabili aleatorie a valori reali (possibilmente) correlate, ognuna delle quali è clusterizzata attorno ad un valore medio.
Definizioni
Notazione e parametrizzazione La distribuzione normale multivariata di un vettore aleatorio k-dimensionale può essere scritta secondo la notazione:
o, per rendere esplicito il fatto che sia k-dimensionale,
con un vettore della media di dimensione k
e matrice di covarianza di dimensione
per cui La matrice inversa della matrice di covarianza è chiamata matrice di precisione, e si indica come .
Vettore aleatorio normale standard Un vettore aleatorio a valori reali è detto vettore aleatorio normale standard se tutte le sue componenti sono indipendenti e ognuna è una variabile aleatoria normale di valore medio nullo e varianza unitaria, cioè se per tutti i valori di .
Vettore aleatorio normale centrato Un vettore aleatorio a valori reali è chiamato vettore aleatorio normale centrato se esiste una matrice deterministica di dimensione tale per cui ha la stessa distribuzione di dove è un vettore aleatorio normale standard con componenti.
Vettore aleatorio normale Un vettore aleatorio a valori reali è detto vettore aleatorio normale se esistono un vettore aleatorio -dimensionale , che è un vettore aleatorio normale standard, un vettore -dimensionale , e una matrice di dimensione , tale per cui .
Formalmente:
Da qui la matrice delle covarianze è .
Nel caso degenere in cui la matrice delle covarianze fosse singolare, la distribuzione corrispondente non ha densità; vedi la sezione seguente per dettagli. Questa situazione capita frequentemente in statistica; per esempio, nella distribuzione dei vettori dei residui nel metodo di regressione dei minimi quadrati ordinario. Le in genere non sono indipendenti; possono essere visti come il risultato dell'applicazione della matrice all'insieme delle variabili gaussiane indipendenti .
Definizioni equivalenti Le seguenti definizioni sono equivalenti alla definizione data in precedenza. Un vettore aleatorio ha una distribuzione normale multivariata se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti.
Ogni combinazione lineare delle proprie componenti è normalmente distribuita. Cioè, per un qualunque vettore costante , il valore aleatorio ha una distribuzione normale univariata, dove una distribuzione normale univariata con varianza nulla è un punto materiale sulla sua media. Esistono un vettore k-dimensionale e una matrice di dimensione simmetrica e positiva semidefinita , tali per cui la funzione caratteristica di è
La distribuzione normale sferica può essere caratterizzata come l'unica distribuzione in cui le componenti siano indipendenti in un qualunque sistema di coordinate cartesiano.
Note
Voci correlate Variabile casuale multivariata Distribuzione normale
Collegamenti esterni
Normale multivariata Categoria:Teoria della probabilità Categoria:Statistica multivariata