Il rapporto tra musica e matematica è stato scoperto in tempi molto antichi, che risalgono al genio di Pitagora. Egli fu il primo a intuire l’esistenza di rapporti numerici tra le frequenze, e tramite questi costruì la prima scala musicale. Questo rapporto venne poi studiato da moltissimi scienziati, filosofi, musicisti quali Tolomeo, Zarlino, Galileo Galilei, Jean-Philippe Rameau, Leibniz, e altri.

Musica e matematica legate sin dall'antichità I pitagorici ritenevano che l'intero universo fosse governato dai numeri, e dunque la loro convinzione di un legame tra musica e matematica si fondava essenzialmente sulla loro concezione cosmologica, in base alla quale i pianeti stessi, ruotando, emettevano suoni basati sulla loro distanza dalla Terra, formando un'armonia celeste.

Vi è tuttavia un aneddoto che racconta di come Pitagora avesse scoperto il ponte tra musica e matematica, tramandato da Giamblico di Calcide. Pitagora udì un giorno un fabbro che batteva martelli di pesi diversi sull'incudine. Notò che a seconda del peso variava la frequenza del suono, producendo tintinnii più o meno piacevoli. Indagando sul perché, Pitagora si rese conto che i martelli, i cui pesi stavano in precisi rapporti producevano suoni consonanti (piacevoli).

In laboratorio Pitagora tese delle corde elastiche (nervi di bue) tramite pesi differenti. Qui scoprì che vi era una consonanza tra coppie di suoni, quando le tensioni stavano fra loro in un rapporto di 4:1 o di 9:4. Una corda tesa da un peso quadruplo emette quindi una nota di frequenza doppia. Possiamo dire che dista un intervallo di ottava dalla precedente. Il nostro cervello percepisce le due frequenze “uguali”, ma una più acuta rispetto all’altra.

Oggi sappiamo che la frequenza fondamentale f0 del suono emesso da una corda tesa, posta in vibrazione, è direttamente proporzionale alla radice quadrata della tensione T cui la corda è sottoposta e inversamente proporzionale alla sua lunghezza L e, sotto radice, alla sua densità ρ e alla sua sezione S:

Intervalli Rapporto LunghezzeRapporto PesiRapporto FrequenzeIntervallo (Consonante)1:24:12:1Ottava2:39:43:2Quinta3:416:94:3Quarta Un intervallo è dunque un rapporto tra le frequenze delle note considerate.

Questa proprietà vale sia “allungando” la nostra corda, sia “accorciandola”, ovvero premendo un punto della corda, posto ad un preciso rapporto di distanza. Se premiamo la corda esattamente a metà e ne pizzichiamo una delle due metà, otteniamo una nota all’ottava superiore. Nella pratica, se la corda libera emette la nota di riferimento “Do”, la stessa corda:

dimezzata, suona il “Do” all’ottava superiore (più acuto); ridotta ai suoi 3/4, suona un “Fa” (Quarta) ridotta ai suoi 2/3, suona un “Sol” (Quinta)

Questo procedimento è spiegato molto bene nel cortometraggio Walt Disney “Paperino nel mondo della Matemagica” (1959)

I progressi dei pitagorici arrivarono alla costruzione di una scala diatonica pitagorica. Essa era composta da sette note, prima di arrivare all’ottava nota, “uguale” alla prima ma più acuta. Il “numero” (Ottava, quinta, terza, quarta, …) assegnato all’intervallo dipende dalle note che vi si contano all’interno, facendo riferimento alla scala: DO – SOL, intervallo di Quinta, poiché da DO a SOL vi sono 5 note: DO, RE, MI, FA, SOL.

Oltre Pitagora Il secondo principio per dividere l’ottava in un dato numero di parti fu ideato da Archita, tarantino di scuola greca (430-348 a.C.). Fu ripreso dai greco-latini Didimo (I sec. a.C.), e Tolomeo (83-161 d.C.), ma trovò applicazione pratica solo con l’avvento della musica tonale e con la successiva teorizzazione formulata da Gioseffo Zarlino (1517-1590) nel 1558.

Mentre il sistema pitagorico prevedeva la divisione della corda in 2, 3 o 4 parti, la novità del sistema tolemaico consisteva nella possibilità di dividere la corda in 5 e 6 parti. Si aggiunsero tra gli intervalli fondamentali anche la terza maggiore (5/4) e la terza minore (6/5). Inizialmente non fu tramandata questa scala poiché gli intervalli di terza non erano ritenuti abbastanza consonanti dai Greci.

Gli altri intervalli la seconda maggiore come differenza fra una quinta e una quarta giusta: 3/2 : 4/3 = 9/8 la sesta maggiore come somma fra una quarta giusta e una terza maggiore: 4/3 * 5/4 = 5/3 la settima maggiore come somma di una quinta giusta e di una terza maggiore: 3/2 * 5/4 = 15/8

I suoni che costituiscono la scala zarliniana attingono dalla serie degli armonici naturali di una nota di riferimento. Per questo motivo viene detta anche scala naturale. Tale serie può essere generata scegliendo una nota di riferimento e moltiplicandone la frequenza per 2, 3, 4 eccetera. Per riportare le note così generate nell’ambito dell’ottava di partenza si divide la loro frequenza per 2n dove n indica il numero di ottave percorse dalla nota di partenza. Infine si eliminano gli eventuali doppioni ottenuti.

La tradizione impone che le note componenti la scala diatonica siano 7:

mentre quelle che compongono la scala cromatica siano 12. Si aggiungono alle 7 note della scala diatonica naturale 5 note alterate, toccando così tutte le note possibili.

Battimenti

Il fenomeno dei battimenti si ha quando vengono suonate due note di frequenza simile (ma non identica). Si ha allora l'impressione di sentire un suono di frequenza vicina a quelle dei primi due, la cui intensità oscilla però nel tempo tanto più lentamente quanto più le frequenze dei primi due suoni erano ravvicinate. Per questo motivo, i battimenti sono utilizzati per determinare la presenza di note calanti o crescenti quando si intona uno strumento.

La spiegazione di questo fenomeno risiede in parte nella natura fisica delle onde sonore, e in parte nel modo in cui il nostro orecchio percepisce i suoni. Se fissiamo la nostra attenzione sulla sovrapposizione di due toni puri (tali cioè da poter essere rappresentati da onde sinusoidali) e supponendoli, per semplicità, di ampiezza uguale, possiamo applicare le formule di prostaferesi al suono risultante:

Ove si è posto

Se , (cioè se e sono vicine), si può esprimere la somma dei due suoni come un suono di frequenza intermedia, pari a , la cui ampiezza sia modulata alla frequenza molto più bassa .

Metodi di intonazione

Le scoperte di Pitagora mettevano in diretta relazione la nostra percezione dei suoni con grandezze misurabili (in questo caso la lunghezza della corda messa in vibrazione). In altre parole, se consideriamo i modi di vibrare (armonici) di una corda tesa fissata agli estremi e detta n la frequenza fondamentale si hanno le seguenti corrispondenze (dove f(x) indica la frequenza della nota x):

Nota (x): Do1 Do2 Sol2 Do3 Mi3 Sol3 Sib3 Do4 f(x): n 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8n

L'intervallo ad esempio tra Do1 e Do2 (raddoppio della frequenza), viene detto intervallo di ottava. Si noti che la parola intervallo riferito alle altezze dei suoni, si riferisce al rapporto tra le frequenze, non alla loro differenza.

Da queste si possono dedurre le frequenze da assegnare a tutte le note della scala di Do: il metodo adottato (che viene detto comunemente temperamento, anche se questo termine si riferirebbe solo ai metodi di intonazione che si discostano da quelli "naturali") ha importanti conseguenze per la costruzione degli strumenti musicali a intonazione fissa (come il pianoforte) e anche per i metodi di composizioni musicale stessi (ad esempio la dodecafonia ideata da Arnold Schönberg è una conseguenza, portata all'estremo, dell'utilizzo del temperamento equabile). Nella storia il problema del temperamento musicale è stato risolto con coerenza (almeno nella musica occidentale) solo nel XVII secolo da Andreas Werckmeister.

Intonazione pitagorica

Il metodo pitagorico consiste nel calcolare inizialmente il rapporto di quinta, cioè la frequenza ad esempio della nota Sol1 rispetto alla nota Do1, come segue:

Sol1: si riduce alla prima ottava Sol2 dividendone la frequenza per due, ottenendo: :

Analogamente Re1 è la quinta di Sol1 (Re2) abbassata di un'ottava: f(Re1) = f(Re2):2 =(3:2 f(Sol1)):2 = 9:8 n

Diviene ora possibile utilizzare i rapporti di quinta e ottava per ricavare le altre note della scala.

Proseguendo con questo metodo, in definitiva, la successione delle note nella scala pitagorica è definita dalla successione delle frequenze che segue (indicate in rapporto alla fondamentale):

Nota: Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2 Frequenza: 1 9:8 81:64 4:3 3:2 27:16 243:128 2

Si noti che in questo modo esistono due soli intervalli (rapporti di frequenza) tra suoni consecutivi: il tono, corrispondente a 9:8, e il semitono o limma pari a 256:243.

La scala pitagorica presenta però l'inconveniente che gli intervalli adottati non si conciliano con l'esigenza di dividere l'ottava in parti proporzionali (per evitare di dover modificare l'intonazione delle singole note al cambiare della tonalità).

Intonazione naturale

Uno degli inconvenienti della scala pitagorica è che i rapporti di terza e sesta, utilizzando numeratori e denominatori elevati, danno luogo ad accordi poco consonanti quando sono utilizzati assieme ad altre note della scala.

Utilizzando anche gli armonici superiori, e in particolare il quinto armonico - Mi3 - della fondamentale, è possibile ottenere rapporti più consonanti, come segue:

Mi1 Viene ottenuto abbassando di due ottave il quinto armonico della fondamentale: f(Mi1) = 1/2 (1/2 (5 n)) = 5/4 n

La1 Si ottiene come quinta discendente di Mi2 (quinto armonico abbassato di un'ottava): f(La1) = 2/3 (1/2 (5 n)) = 5/3 n

Si1 È la quinta di Mi1: f(Si1) = 3/2 (5/4 n) = 15/8 n

In definitiva: Nota Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2 Frequenza (scala naturale) 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 Frequenza (scala pitagorica) 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

Riconducendo le note a frazioni più semplici, si ottiene anche un'ottima consonanza della sesta (La1) e migliora il rapporto con la settima maggiore (Si1). Si perde però omogeneità negli intervalli: abbiamo ora rapporti di 9/8 (tono maggiore)), 10/9 (tono minore) e 16/15 (semitono diatonico). I rapporti (intervalli) tra tono maggiore e tono minore, pari a 81/80 viene detto comma di Didimo; il rapporto tra tono minore e semitono diatonico, pari a 25/24, viene detto semitono cromatico. Si noti che in questo sistema, l'intervallo Re1-La1 (una quinta) non vale più 3/2, ma 40/27 (detto intervallo di quinta stretta). Il rapporto tra i due intervalli di quinta, che vale 80/81, è l'inverso del comma di Didimo ed è anche detto comma sintonico.

A fronte di una maggior consonanza tra le note la scala naturale introduce, quindi, un certo numero di irregolarità nella successione degli intervalli, che la rende ancora più inadatta di quella pitagorica per l'accordatura degli strumenti ad intonazione fissa (mentre è quella più vicina alle esigenze degli strumenti ad intonazione variabile).

Ciclo delle quinte

Il problema dell'intonazione, come accennato più sopra, deriva dalla necessità di poter accordare strumenti a corda come il pianoforte o gli archi in modo da poter suonare in diverse tonalità. Nessuno dei due metodi visti finora permette di risolvere con esattezza questo problema, come si può vedere dal seguente procedimento.

Un modo per accordare uno strumento ad accordatura fissa consiste nel preservare gli intervalli di quinta a partire da una corda base. In questo modo si accorda percorrendo il cosiddetto ciclo delle quinte: Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa♯, Do♯, Sol♯, Re♯, La♯, Fa (o Mi♯), Do, che dopo sette ottave ritorna alla nota fondamentale. È facile vedere che nessuno dei metodi fin qui esaminati può fare sì che il Do8 coincida con quello ottenuto dal ciclo delle quinte: infatti, sia per il temperamento naturale, sia per quello pitagorico, le frequenze delle ottave sono multiple di potenze di due, mentre nel ciclo delle quinte le frequenze sono multiple di potenze di 3/2: nessuna potenza di due è anche una potenza di 3/2. Questo ragionamento vale anche per gli altri rapporti considerati.