In matematica, l'alternativa di Fredholm, il cui nome è dovuto a Ivar Fredholm, è uno dei teoremi di Fredholm, che si inserisce nel contesto della teoria di Fredholm. L'enuciato mostra che un numero complesso non nullo o è un autovalore di un operatore compatto oppure è nel relativo risolvente.
Il teorema può essere enunciato in diversi modi, in quanto la sua formulazione può essere svolta nell'ambito dell'algebra lineare, delle equazioni integrali o nella teoria degli operatori di Fredholm.
Algebra lineare Sia uno spazio vettoriale di dimensione n e una trasformazione lineare. Allora vale esattamente una delle seguenti affermazioni:
Per ogni esiste tale che . In altri termini, è una funzione suriettiva, e dunque biunivoca poiché lo spazio è finito-dimensionale.
Una formulazione che utilizza le matrici afferma in modo equivalente che data una matrice di dimensione ed un vettore colonna di dimensione , vale esattamente una delle seguenti affermazioni:
possiede una soluzione ha soluzione con
Ovvero, ha soluzione (cioè ) se e solo se per ogni tale che si ha , cioè .
Equazioni integrali L'alternativa può essere espressa dicendo che, dato un operatore compatto , e dato , o possiede una soluzione diversa da zero oppure ha soluzione unica per qualsiasi scelta di , che equivale a dire che o è un autovalore (cioè un elemento dello spettro puntuale) oppure è limitato, cioè è nel dominio dell'operatore risolvente. Nell'ambito delle equazioni integrali questo viene espresso considerando l'equazione integrale di Fredholm:
dove se è un nucleo integrale liscio l'operatore integrale così definito è compatto. Data l'equazione non omogenea:
l'alternativa di Fredholm afferma che per ogni numero complesso non nullo o la prima equazione ha una soluzione non banale oppure la seconda ha una soluzione per ogni , e questo vale anche per le rispettive relazioni complesse coniugate:
Una condizione sufficiente per la validità del teorema è che sia quadrato sommabile sul rettangolo (dove gli estremi possono essere illimitati).
Il teorema in spazi di Banach Attraverso gli operatori di Fredholm si generalizza il teorema a spazi di Banach di dimensione arbitraria. In modo informale, la corrispondenza tra la versione dell'enunciato in algebra lineare e quello per le equazioni integrali si mostra ponendo:
con la delta di Dirac. L'operatore può essere visto come un operatore lineare che agisce su uno spazio di Banach di funzioni , sicché è dato dalla mappa , con fornito da:
Il teorema stabilisce che dato un operatore lineare continuo fra spazi di Banach, e detto l'operatore nello spazio duale, o esistono soluzioni uniche per:
oppure le equazioni omogenee:
hanno lo stesso numero di soluzioni linearmente indipendenti.
Siano e le soluzioni delle equazioni omogenee. Allora, date due soluzioni particolari e delle equazioni non omogenee, la soluzione generale di queste ultime è la somma di una soluzione particolare e di una combinazione lineare di soluzioni (linearmente indipendenti) della relativa equazione omogenea:
con coefficienti arbitrari.
L'alternativa di Fredholm si applica a un operatore se e solo se esso può essere scritto come la somma di un operatore compatto e di un operatore con inverso continuo.
Bibliografia E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) pp. 365–390. A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p. 855. V.I. Smirnov, A course of higher mathematics , 4 , Addison-Wesley (1964) V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics , MIR (1984) L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)
Voci correlate Autovettore e autovalore Determinante di Fredholm Equazione integrale di Fredholm Delta di Dirac Nucleo di Fredholm Operatore compatto Operatore di Fredholm Spettro (matematica) Teoremi di Fredholm Teoria di Fredholm Teoria spettrale
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