In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze
se per ogni tale che . Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto tramite il prolungamento analitico.
Per il polilogaritmo coincide col classico logaritmo
Per il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.
Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale
quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.
Proprietà Una formula importante dovuta a Eulero è
Per essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di :
L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).
Se , per la funzione polilogaritmo di ordine si riduce alla funzione zeta di Riemann in :
Il polilogaritmo può anche essere scritto in termini di integrale della distribuzione di Bose-Einstein nel seguente modo:è
dove è la funzione Gamma di Eulero. Esso converge per e per ogni eccetto gli minori di . Questa rappresentazione permette di calcolare il valore di integrali del tipo
Casi particolari
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Bibliografia Jonquière, A. Note sur la série . Bulletin de la Société Mathématique de France, 17 (1889), p. 142-152 Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958. Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981. Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 30–31, 1981. Abramowitz, M. e Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions. p. 1004 New York, Dover, 1972.
Voci correlate Logaritmo Analisi complessa Funzione speciale Funzione zeta di Riemann Funzione zeta di Hurwitz Funzione eta di Dirichlet Funzione trascendente di Lerch Polinomio di Bernoulli Statistica di Bose-Einstein Statistica di Fermi-Dirac
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Categoria:Funzioni speciali