Fu una delle protagoniste dello sci alpino femminile degli anni 1930, assieme alle connazionali Christl Cranz e Käthe Grasegger; tra il 1934 e il 1939 vinse otto medaglie iridate, tra cui il titolo di campionessa mondiale nella discesa libera a Engelberg 1938.
Biografia La Resch ottenne i suoi primi risultati internazionali ai Mondiali di Sankt Moritz 1934, dove vinse la medaglia d'argento nello slalom speciale e nella combinata e quella di bronzo nella discesa libera. L'anno dopo ai IV Giochi olimpici invernali di , ospitati nella sua città natale, fu 2ª nella discesa libera valida per la combinata, l'unico titolo olimpico in palio per lo sci alpino in quell'edizione dei Giochi; nella classifica finale, dopo lo slalom speciale, fu 6ª.
Ai Mondiali di Chamonix 1937 conquistò la medaglia di bronzo nello slalom speciale e fu 6ª nella combinata, mentre nella successiva rassegna iridata di Engelberg 1938 vinse la medaglia d'oro nella discesa libera, quella d'argento nella combinata e fu 4ª nello slalom speciale. Ottenne i suoi ultimi piazzamenti in carriera ai Mondiali di Zakopane 1939, dove si aggiudicò altre due medaglie (l'argento nella discesa libera e il bronzo nella combinata) e chiuse 4ª nello slalom speciale.
Palmarès Mondiali 8 medaglie: 1 oro (discesa libera a Engelberg 1938) 4 argenti (slalom speciale, combinata a Sankt Moritz 1934; combinata a Engelberg 1938; discesa libera a Zakopane 1939) 3 bronzi (discesa libera a Sankt Moritz 1934; slalom speciale a Chamonix 1937; combinata a Zakopane 1939)
Bibliografia Comitato Organizzatore, IV. Olympische Winterspiele 1936 Amtlicher Bericht, Reichssportverlag Berlin SW 68, 1936 (versione digitalizzata )
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