In matematica, la funzione integrale esponenziale è una funzione speciale complessa caratterizzata tramite l'integrale definito del rapporto tra la funzione esponenziale e il suo argomento.
Definizione La funzione integrale esponenziale viene definita come:
Dato che diverge per , il precedente integrale si deve intendere come valore principale di Cauchy:
L'algoritmo di Risch mostra che non si tratta di una funzione elementare.
Per valori complessi dell'argomento si utilizza la funzione:
che tramite prolungamento analitico può essere estesa a tutto il piano complesso. L'integrale esponenziale è così anche definito come:
Si ha inoltre che per valori positivi di :
L'integrale esponenziale è strettamente collegato alla funzione integrale logaritmica, definibile come:
per tutti gli reali positivi diversi da .
Sviluppo in serie Integrando lo sviluppo di Taylor di si può derivare il seguente sviluppo in serie per :
dove denota la costante di Eulero-Mascheroni. Per argomenti complessi si generalizza con:
Tale somma converge per ogni . Una serie che converge più velocemente si deve a Ramanujan:
Esiste anche una serie divergente che approssima l'integrale esponenziale, ottenuta integrando per parti:
che ha un errore dell'ordine di ed è valida per grandi valori di .
Dalle serie precedenti si evince che si comporta come un esponenziale negativo per grandi valori dell'argomento, e come un logaritmo per valori piccoli. Quando l'argomento è reale e positivo si ha:
come mostrato nel grafico a lato.
Funzione intera Sia che la funzione possono essere espresse mediante una funzione intera:
Con questa funzione e la funzione logaritmo si possono utilizzare come definizioni le seguenti uguaglianze:
Generalizzazioni Una generalizzazione della funzione integrale esponenziale è:
che può essere scritto come caso particolare della funzione gamma incompleta:
Bibliografia Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, (Chapter 5)
Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 566–568, 1985. Finch, S. R. "Euler-Gompertz Constant." §6.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423–428, 2003. Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." Appl. Numer. Math. 34, 95-98, 2000. Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105–106, 2003.
Voci correlate Funzione speciale Funzione gamma incompleta Funzioni integrali trigonometriche Logaritmo integrale
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Integrale esponenziale