Il metodo della matrice sparsa, o metodo completo, è una metodologia di analisi per la soluzione dei circuiti elettrici che consiste nella scrittura esplicita delle leggi di Kirchoff e delle relazioni costitutive necessarie e sufficienti a descrivere il circuito.
Il metodo Si consideri un circuito il cui grafo sia composto da n nodi e l lati e se ne descriva il funzionamento considerando gli n-1 potenziali di nodo indipendenti (assumendo uguale a 0 il potenziale di un nodo scelto come riferimento, comunemente chiamato massa), le l tensioni di lato e le l correnti di lato. Si hanno quindi 2l + n - 1 variabili incognite.
Per trovare il valore di queste incognite si dovranno scrivere un sistema di altrettante equazioni indipendenti.
Le leggi di Kirchhoff delle correnti (n-1 equazioni), quelle delle tensioni (l-n+1 equazioni) e le relazioni costitutive dei componenti (l equazioni) permettono, se indipendenti, di risolvere il problema.
L'indipendenza delle equazioni, nel caso lineare, è assicurata se non sono presenti maglie di generatori indipendenti di tensione o insiemi di taglio di generatori indipendenti di corrente.
Il metodo può essere definito in modo formale se si introduce la matrice di connessione A del circuito, i vettori v delle tensioni di lato, i delle correnti di lato e e dei potenziali di nodo , e si scrivono le relazioni costitutive nella forma matriciale . Assemblando le 2l + n - 1 equazioni in un'unica equazione in forma matriciale, si ha:
La matrice a blocchi così ottenuta ha numerosi elementi nulli ed è quindi una matrice sparsa (i metodi numerici per la soluzione di equazioni formate da matrici sparse sono generalmente molto efficienti).
Voci correlate Simulatore circuitale Leggi di Kirchhoff Relazione costitutiva (elettrotecnica)
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