In algebra lineare, con matrice elementare si indica generalmente una matrice quadrata di un certo tipo, utile in alcuni algoritmi come l'algoritmo di Gauss o le fattorizzazioni LU e QR.
Definizione Nella più grande generalità, una matrice elementare è una matrice quadrata a coefficienti reali o complessi, del tipo
dove è la matrice identità e è una matrice con rango al più uno. In altre parole, le colonne (o le righe) di sono tutte multiple una dell'altra, ad esempio:
Equivalentemente, è il prodotto di due vettori, il primo colonna ed il secondo riga (perché indica la trasposta di ). Nell'esempio, abbiamo
Risulta quindi comodo esprimere una matrice elementare come
dove è un coefficiente (reale o complesso) e sono vettori non nulli.
Proprietà Le principali proprietà delle matrici elementari sono: <li> Se il numero è diverso da uno, la matrice è invertibile e la sua inversa è con . <li> dati due vettori non nulli, esiste una matrice elementare tale che .
Matrici elementari di Gauss Le matrici elementari di Gauss sono matrici elementari molto semplici, definite per interpretare le mosse di Gauss come moltiplicazione per una matrice. Sono di tre tipi, ciascuno corrispondente ad un tipo di mossa.
Scambio di righe La matrice è ottenuta dalla matrice identità scambiando le righe -esima e -esima:
Può essere anche definita come
dove
è l'-esimo vettore della base canonica.
Moltiplicazione di una riga per uno scalare Analogamente, è ottenuta dalla matrice identità moltiplicando la riga -esima per un numero .
Può anche essere definita come
Combinazione lineare La matrice è ottenuta dalla matrice identità aggiungendo alla riga -esima la riga -esima moltiplicata per .
Può anche essere definita come
Relazione con l'algoritmo di Gauss Se è una matrice qualsiasi con righe, allora le matrici sono le matrici ottenute da operando le corrispondenti mosse di Gauss.
Matrici elementari di Householder
Una matrice di Householder è una matrice elementare del tipo dove è un vettore di norma uno.
Le matrici elementari di Householder sono utili per definire le trasformazioni di Householder e quindi la fattorizzazione QR.
Voci correlate Algoritmo di Gauss Trasformazione di Householder
Elementare Categoria:Analisi numerica