La meccanica del contatto è lo studio della deformazione di solidi che si toccano in uno o più punti. Questo può essere diviso in forze compressive e adesive in direzione perpendicolare all'interfaccia, e in forze di attrito in direzione tangenziale. La meccanica del contatto con attrito (o contatto frizionale) è lo studio della deformazione dei corpi in presenza di effetti di attrito, mentre la meccanica del contatto senza attrito assume l'assenza di tali effetti.
La meccanica del contatto senza attrito si occupa di un'ampia gamma di scale diverse. Su scala macroscopica, essa si applica all'indagine sul moto dei corpi in contatto (vedi Dinamica del contatto). Ad esempio il rimbalzo di una palla di gomma su una superficie dipende dall'interazione degli attriti sull'interfaccia di contatto. Qui sono di interesse principale la forza totale rispetto all'indentazione e allo spostamento laterale. Su scala intermedia, si è interessati alle tensioni, agli allungamenti e alle deformazioni locali dei corpi in contatto nella e vicino all'area di contatto. Ad esempio per derivare o validare i modelli di contatto su scala macroscopica, o per indagare l'usura e la fatica delle superfici dei corpi in contatto. Le aree di applicazione di questa scala sono l'interazione pneumatico-pavimentazione, l'interazione ruota ferroviaria-rotaia, l'analisi dei cuscinetti a rulli, ecc. Infine, su scala microscopica e nanoscopica, la meccanica del contatto si usa per aumentare la nostra comprensione dei sistemi tribologici, ad es. indagare l'origine dell'attrito, e per l'ingegneria di dispositivi avanzati come i microscopi a forza atomica e i dispositivi MEMS. Questo articolo si occupa principalmente della seconda scala: ottenere la comprensione basilare delle tensioni e delle deformazioni nella e vicino alla zona di contatto, senza prestare troppa attenzione ai meccanismi dettagliati mediante i quali essi avvengono.
Storia Parecchi famosi scienziati e ingegneri hanno contribuito alla nostra comprensione dell'attrito. Essi includono Leonardo da Vinci, Guillaume Amontons, John Theophilus Desaguliers, Leonhard Euler e Charles-Augustin de Coulomb. In seguito, Nikolai Pavlovich Petrov, Osborne Reynolds e Richard Stribeck completarono questa conoscenza con le teorie della lubrificazione.
La deformazione dei materiali solidi fu indagata nel XVII e XVIII secolo da Robert Hooke, Joseph Louis Lagrange, e nel XIX e XX secolo da d'Alembert e Timoshenko. Rispetto alla meccanica del contatto spicca il contributo classico di Heinrich Hertz. Inoltre le soluzioni fondamentali di Boussinesq e Cerruti sono di primaria importanza per l'indagine dei problemi di contatto con attrito nel regime (linearmente) elastico.
I risultati classici di un vero problema di contatto frizionale riguardano i saggi di F. W. Carter (1926) e H. Fromm (1927). Essi presentarono indipendentemente la reazione scivolamento verso forza di scivolamento per un cilindro su un piano o per due cilindri in contatto volvente stabile usando la legge dell'attrito secco di Coulomb (vedi sotto). Questi si applicano alla trazione delle locomotive ferroviarie, e per la comprensione dell'oscillazione di serpeggiamento dei veicoli ferroviari. Rispetto allo scivolamento, le soluzioni classiche sono dovute a C. Cattaneo (1938) e a R. D. Mindlin (1949), che consideravano il cambio di velocità tangenziale di una sfera su un piano (vedi sotto).
Negli anni 1950 crebbe l'interesse per il contatto volvente delle ruote ferroviarie. Nel 1958 K. L. Johnson presentò un approccio approssimato per il problema dell'attrito tridimensionale con la geometria hertziana, con scivolamento o laterale o rotatorio. Tra le altre cose trovò che lo scivolamento rotatorio, che è simmetrico intorno al centro della zona di contatto, conduce a una forza laterale netta in condizioni volventi. Ciò è dovuto alle differenze longitudinali nella distribuzione delle trazioni della zona di contatto.
Nel 1967 Joost Kalker pubblicò la sua miliare tesi di dottorato sulla teoria lineare per il contatto volvente. Questa teoria è esatta per la situazione di un coefficiente di attrito infinito, nel qual caso l'area di slittamento scompare, ed è approssimativa per gli scivolamenti che non scompaiono. Essa assume la legge dell'attrito di Coulomb, che richiede più o meno superfici (scrupolosamente) pulite. Questa teoria è per corpi massicci come il contatto ruota ferroviaria-rotaia. Rispetto all'interazione strada-pneumatico, un contributo importante riguarda la cosiddetta formula magica degli pneumatici di Hans Pacejka.
Negli anni 1970 furono messi a punto molti modelli numerici. Particolarmente gli approcci variazionali, come quelli che fanno affidamento sulle teorie dell'esistenza e dell'unicità di Duvaut e Lion. Nel tempo, queste si svilupparono in approcci degli elementi finiti per i problemi di contatto con i modelli e le geometrie generali dei materiali, e in approcci basati sui semispazi per i cosiddetti problemi di contatto con bordi levigati per i materiali linearmente elastici. I modelli della prima categoria furono presentati da LaursenT. A. Laursen, Computational Contact and Impact Mechanics, Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis, Berlino, Springer, 2002. e da Wriggers.P. Wriggers, Computational Contact Mechanics, 2nd ed., Heidelberg, Springer, 2006. Un esempio di quest'ultima categoria è il modello CONTACT di Kalker.J. J. Kalker, Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1990.
Un inconveniente degli approcci variazionali ben fondati sono i loro grandi tempi di calcolo. Perciò furono escogitati anche molti diversi approcci approssimati. Varie e ben note teorie approssimate per il problema del contatto volvente sono l'approccio FASTSIM di Kalker, la formula di Shen-Hedrick-Elkins e l'approccio di Polach.
Altre informazioni sulla storia del problema del contatto ruota/rotaia sono forniti nel saggio di Knothe. Inoltre Johnson raccolse nel suo libro un'enorme quantità di informazioni sulla meccanica del contatto e sugli argomenti correlati. Rispetto alla meccanica del contatto volvente una panoramica delle varie teorie è presentata anche da Kalker. Infine sono d'interesse gli atti di un corso della CISM, che forniscono un'introduzione ad aspetti più avanzati della teoria del contatto volvente.
Formulazione del problema Centrale nell'analisi dei problemi di contatto con attrito è la comprensione che le tensioni sulla superficie di ciascun corpo sono variabili spazialmente. Conseguentemente anche gli allungamenti e le deformazioni dei corpi sono variabili con la posizione. E il moto delle particelle dei corpi a contatto può essere diverso in punti diversi: in parte della zona di contatto le particelle dei corpi opposti possono aderire (attaccarsi) l'una all'altra, mentre in altre parti della zona di contatto avviene un movimento relativo. Questo scorrimento relativo locale è chiamato micro-deriva.
Questa suddivisione dell'area di contatto in aree di attaccatura (adesione) e aree di deriva si manifesta tra l'altro nell'usura corrosiva. Si noti che l'usura si verifica solo dove è dissipata potenza, il che richiede una tensione e uno spostamento relativo locale (deriva) tra le due superfici.
La dimensione e la forma della stessa zona di contatto e della e sue aree di adesione e di deriva non sono generalmente note in anticipo. Se fossero note, allora i campi elastici nei due corpi sarebbero risolti indipendentemente l'uno dall'altro e questo non sarebbe più un problema di contatto.
Tre diverse componenti possono essere distinte in un problema di contatto. Prima di tutto, c'è la deformazione dei corpi separati in reazione ai carichi applicati alle loro superfici. Questo è l'oggetto della meccanica del continuo generale. Esso dipende in gran parte dalla geometria dei corpi e dal comportamento dei loro materiali (costitutivi) (ad es. risposta elastica contro plastica, struttura omogenea contro stratificata, ecc.). In secondo luogo, c'è un moto complessivo dei corpi l'uno in relazione all'altro. Ad esempio i corpi possono essere in quiete (statica) o in rapido avvicinamento tra loro (impatto), e possono essere spostati (scorrimento) o ruotati (rotolamento) l'uno sull'altro. Questi moti complessivi sono studiati nella meccanica classica, vedi ad esempio la dinamica multicorpo. Infine ci sono i processi sull'interfaccia di contatto: compressione e adesione nella direzione perpendicolare all'interfaccia, e attrito e micro-deriva nelle direzioni tangenziali.
L'ultimo aspetto è l'oggetto primario della meccanica del contatto. È descritto in termini delle cosiddette "condizioni di contatto". Per la direzione perpendicolare all'interfaccia, il problema di contatto normale, gli effetti di adesione sono solitamente piccoli (sulle scale spaziali maggiori) e si impiegano tipicamente le seguenti condizioni: Il divario tra le due superfici deve essere zero (contatto) o strettamente positivo (separazione, ); La tensione normale che agisce su ciascun corpo è zero (separazione) o compressiva ( nel contatto). Matematicamente: . Qui sono funzioni che variano con la posizione lungo le superfici dei corpi.
Nelle direzioni tangenziali si usano spesso le seguenti condizioni: Lo sforzo di taglio locale (tangenziale) (assumendo la direzione normale parallela all'asse ) non può superare il massimo dipendente da una certa posizione, il cosiddetto limite di trazione ; Dove l'ampiezza della trazione tangenziale ricade al di sotto del limite di trazione , le superfici opposte aderiscono insieme e la microderiva scompare, ; La microderiva si verifica dove le trazioni tangenziali sono al limite di trazione; la direzione della trazione tangenziale è allora opposta alla direzione della microderiva .
La forma precisa del limite di trazione è la cosiddetta legge dell'attrito locale. Per questo la legge dell'attrito (globale) di Coulomb è spesso applicata localmente: , con il coefficiente di attrito. Sono possibili anche formule più dettagliate, per esempio con a seconda della temperatura , della velocità di scorrimento locale , ecc.
Soluzioni per i casi statici Corda su una bitta, l'equazione del cabestano
Si consideri una corda in cui forze uguali (ad es. ) sono esercitate su entrambi i lati. In questo modo la corda è leggermente tesa e si induce una tensione interna ( su ogni posizione lungo la corda). La corda è avvolta intorno a un elemento fisso come una bitta; è piegata ed è a contatto con la superficie dell'elemento con un angolo di contatto (ad es. ). Tra la corda e la bitta si genera una pressione normale, ma non si presenta ancora nessun attrito. Poi la forza su un lato della bitta è aumentata a un valore superiore (e.g. ). Questo causa sforzi di taglio frizionali nell'area di contatto. Nella situazione finale la bitta esercita una forza di attrito sulla corda tale da determinare una situazione statica.
La distribuzione delle tensioni nella corda in questa situazione finale è descritta dall'equazione del cabestano, con soluzione:
La tensione aumenta da sul lato lento () a sul lato alto . Quando si guarda dal lato alto, la tensione cala esponenzialmente, finché raggiunge il carico minore a . Da là in poi essa è costante a questo valore. Il punto di transizione è determinato dal rapporto tra i due carichi e il coefficiente di attrito. Qui le tensioni sono in newton e gli angoli in radianti.