Carriera Bilek ha ottenuto il titolo di maestro internazionale nel 1958 e di grande maestro internazionale nel 1962.Bilek, István team chess record at olimpbase.org È stato tre volte campione nazionale d'Ungheria (1963, 1965, 1970) e ha disputato gli interzonali nel 1962 e nel 1964. I suoi migliori tornei sono stati quelli di Balatonfüred (1960), Salgótarján (1967) e Debrecen (1970), dove è arrivato primo.
Bilek ha giocato nella nazionale ungherese in nove Olimpiadi degli scacchi (le edizioni dal 1958 al 1974), ottenendo tre medaglie individuali: argento in quarta scacchiera nel 1962, bronzo in terza scacchiera nel 1966 e argento in seconda scacchiera nel 1972.
Il suo Elo massimo è stato pari a 2500, raggiunto nel febbraio 1973.
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