Grande maestro dal 1997, ha vinto tre volte il Campionato croato (nel 1996, 1998 e 2003).
Ha partecipato con la Croazia a sei olimpiadi degli scacchi dal 1998 al 2006; vincitore della medaglia d'argento individuale in quarta scacchiera alle Olimpiadi di Torino 2006;
Ha raggiunto il rating FIDE più alto in luglio 2008, con 2593 punti Elo.
Nel dicembre 2012, allo Zadar Open, Zelčić fu uno dei pochi grandi maestri a essere sconfitto da Borislav Ivanov, che in seguito risultò aver barato. Nel luglio 2020, Zelčić si è classificato secondo al Campionato croato di scacchi, a pari merito con Zdenko Kožul, Hrvoje Stević e Ante Brkić.
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