代替文=|サムネイル|青と赤と橙と緑の三角形の面積は等しい。 白川の定理（しらかわのていり）とは幾何学の三角形に関する定理である。 当時、高校1年生だった白川昌宏が発見し、盛岡第一高等学校少年少女数学愛好会により1990年9月8日に発行された「取れたての定理です」第1巻において発表された。
定理 △ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、
△ABC=△AA′A″=△BB′B″=△CC′C″
である。
当時の証明は元の三角形が直角三角形であることが条件だったが、後に宮本次郎により一般の三角形でも成り立つことが判明した。
証明 △ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、
△ABCの内角で ∠BAC = α
△AA′A″の内角で ∠A′AA″ = α′
△ABC = S, AC = AA′ = b, AB = AA″ = c
とする。
なので、
(1)
と表せる。
仮定より、
∠A′AC + α + ∠A″AB + α′ = 360°
が成り立つ。正方形なので
90° + α + 90° + α′ = 360°,
α + α′ = 180°,
α′ = 180° − α,
sin α′ = sin(180° − α),
sin α′ = sin α. (2)
(1), (2)より、△AA′A″の面積は、
同様に
△BB′B″=S,
△CC′C″=S.
依って、
△ABC=△AA′A″=△BB′B″=△CC′C″
は示された。
関連項目 高田の定理 - 白川の定理と同じ「取れたての定理です」第1巻に掲載された定理
出典
とれたて通信 1999年9月6日 - 発見の経緯と直角三角形の時の証明 「取れたての定理です」第１巻 白川の定理 - 一般化された結論