数学におけるヤコビアン予想（）とは、多項式写像の可逆性に関する問題である。標数 の体 上の多項式写像 について、ヤコビ行列式が非零定数ならば は多項式逆写像を持つ、という主張であった。
この主張は、2変数の場合については1884年にルートヴィヒ・クラウスによってすでに述べられていたが、その証明には誤りがあった。1939年にはが整数係数の多変数多項式について改めて定式化した。のちにによって、主張自体は初等的な多変数微分積分学の知識で理解できる一方、解決には深い代数幾何学を要する問題の例として広く知られるようになった。
ヤコビアン予想には長年にわたり多数の証明が提出されたが、その多くには微妙な誤りが発見されてきた。2026年7月、数学者は3変数の場合の明示的な反例を公表し、この例をAnthropicの大規模言語モデル「Claude Fable 5」が発見したと述べた（#3変数の反例参照）。したがって予想は で偽である。一方、 の場合は2026年7月現在も未解決であり、 の場合は自明に成立する。ヤコビアン予想は、スティーヴン・スメイルが1998年に挙げた「次世紀の数学問題」の第16問題である。
ヤコビ行列とヤコビ行列式 を整数とし、体 上の多項式環
に属する多項式 を取る。これらから定まる多項式写像を
と書く。
のヤコビ行列は
であり、その行列式
をヤコビ行列式という。 自身も の元である。
予想の定式化 多変数の連鎖律により、 が多項式逆写像 を持つならば、
が成り立つ。多項式環 の単元は非零定数だけなので、このとき必ず である。古典的なヤコビアン予想は、この必要条件の逆も成り立つと主張していた。
同値な言い方をすれば、 はアフィン空間 の多項式自己同型である、という主張である。標数 の場合はレフシェッツの原理を用いて複素数体 の場合に帰着できる。
正標数では、同じ形の主張は1変数ですでに偽となる。標数 の体上で
と置くと、
である。しかし、任意の に対して であるため、 は単射でなく、多項式逆写像を持たない。は、体の拡大 の次数を が割らないという仮定を加えた正標数版を提案している。
条件 は逆関数定理と関係する。実数または複素数上では、 ならば は点 の近傍で局所的な滑らかな逆写像を持つ。しかし、局所可逆性は大域的な単射性や、多項式逆写像の存在を意味しない。例えば実関数
は滑らかな大域逆関数を持つが、その逆関数は多項式ではない。
主な結果 は、各成分の次数が高々 の場合にヤコビアン予想を証明した。は、一般の場合を次数 の場合に帰着した。さらに、補助変数を加えることにより、
で、 の各成分が零または斉次3次多項式である場合に帰着できる。は、さらに各非零成分を斉次1次式の3乗と仮定できることを示した。この帰着は変数を追加するため、次元 を固定した問題にはそのまま適用できない。
は、ヤコビアン予想が偽ならば、整数係数かつヤコビ行列式が である反例が存在することを示した。この結果から、固定した次元における予想の真偽は標数 の代数閉体の選び方によらない。
を 、 を が生成する -部分代数とする。 が多項式自己同型であることは
と同値である。Kellerは双有理な場合、すなわち
の場合を証明した。また、 がガロア拡大である場合は、複素数体上ではにより、一般の標数 の場合はおよびにより証明された。は2変数で次数が高々 の場合を検証した。
とは、対称なヤコビ行列を持つ斉次3次型の写像へ帰着できること、および対称なヤコビ行列を持つDrużkowski型写像について予想が成立することを示した。
強実ヤコビアン予想は、実多項式写像 のヤコビ行列式が全ての点で非零ならば、 は大域的に可逆である、という主張であった。は2変数の反例を構成し、この予想を反証した。
ディキシミエ予想は、ワイル代数の任意の自己準同型が自己同型であるという予想である。ディキシミエ予想からヤコビアン予想が従うことはによって示された。逆方向には、土基善文 (2005)とが独立に、 変数のヤコビアン予想から 次元のディキシミエ予想が従うことを示した。は、この含意の自己完結的かつ純代数的な証明を与え、さらにヤコビアン予想、ディキシミエ予想およびポワソン予想の関係を示した。
3変数の反例 2026年7月、レヴェント・アルポゲは次の多項式写像 を公表した。
この写像のヤコビ行列式は
という非零定数である。一方、相異なる3点
は全て同じ点に写る。実際、
したがって は単射でなく、多項式逆写像を持たない。これにより3変数のヤコビアン予想は反証された。さらに に対して恒等写像を座標として付け加えることで、全ての に反例が得られる。2変数の場合は、この反例からは決着せず、未解決のままである。
発見の経緯
2026年の7月6日から10日にかけてフェルマーの最終定理のに関するワークショップがロンドンで開催された。主催者であると参加者のは7月7日に昼食をともにした。その席で2人はAIで取り組めそうな問題について話し合った。マシューは位数 のすべての有限自由が によってkillされるかというグロタンディークの古い問題を提案した。ワークショップ終了後の11日、その問題の反例をOpenAIのSolが見つけたとマシューはバザードに連絡した。バザードは、コンピュータは反例を見つけるのが非常に上手くなってきているようだとマシューに指摘し、次はホッジ予想を試してみてはどうかと提案した。その提案をマシューが真面目に受け止めたかどうかは不明であるが、バザードの見るところ、強力な現代のAIをもってすれば反例を見つけるのは容易であることをマシューは深く理解したようであった。そしてマシューは代数幾何学でもっと反例を探すというアイデアについてレヴェント・アルポゲと議論した。アルポゲはサッカーのワールドカップ決勝が行われている間にClaude Fable 5へ問題を検討させた。そして、この反例が発見されたことをアルポゲは7月20日にXで発表した。
脚注
参照文献
外部リンク Jacobian Conjecture - MathWorld T. T. Moh's page on the Jacobian conjecture