数学におけるシャピロの不等式（シャピロのふとうしき、）、またはシャピロの巡回不等式とは、によって1954年に提案された不等式である。
内容
を自然数、 を非負の実数で、
であるとする。ただし、 とする。このとき、
が 以下の偶数 が 以下の奇数
のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。
より大きな に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 が存在する。ここで 。
重要なケース の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は のときの解析的な証明を発表した。
の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト（1990年のフィールズ賞受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる が で与えられることを示した。ここで は関数 と の関数的凸包である。(つまり、 のグラフの上側の部分は、 と のグラフの上側部分の合併の凸包になっている）。
左辺の、内部での極小値は常に となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。
より大きな n に対する反例
最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 に対するものである：
（ここで は 0 に極めて近いとする。） このとき不等式の左辺は となり、 が十分小さければ 10 より小さくなる。
次の反例は に対するもので、1985年 Troesch により与えられた：
また、 に対して次の反例がある：
n が小さなときの証明
より自明である。
この場合をネスビットの不等式といい、様々な証明が知られている。 正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、
よって、 とおくと
ゆえに 。
正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式から、
また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、
ここで とおくと
ゆえに 。
参考文献
They give an analytic proof of the formula for even , from which the result for all follows. They state as an open problem.
外部リンク Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)