共分散

共分散（きょうぶんさん、）とは、大きさが同じ2つのデータの間での、平均からの偏差の積の平均値である。2 組の確率変数 の共分散 は、E で期待値を表すことにして、

で定義する。 とも定義できる。

と の共分散は や と表記されることもある。

例 例として、中学生の数学と国語のテストの点数の共分散を考える。まず、山田さんの偏差の積を計算する。 項目数学国語平均点5050山田8040偏差30−10偏差の積30 × (−10) = −300 同様にして、生徒全員について、偏差の積を平均したものが、数学と国語の共分散になる。

数学が平均より高い生徒が、国語も平均より高いテストの点を取っていると、共分散の合計は大きな正の値をとる。逆の関係があれば、大きな負の値をとる。共分散が 0 なら特にそのような関連性はないと考えられる。ちなみにこの関連性は直線的なもの（1次関数）を指している。

共分散は、もとの値の大きさで数値が決まるので、単位が違う変数を複数比較するときなどに解釈が難しい。たとえば市町村単位で、その町ごとの人口と、ラーメン店の売上の共分散を計算しても、数字の意味が分かりにくい。

そこで関係を見る場合にはピアソンの積率相関係数を使うことが一般的である。共分散の値を、各変数（例なら国語と数学）の標準偏差の積で割ったものが相関係数となる。相関係数は から までの値をとる。 であれば 2 つの変数の値は完全に同期していることになる。対象によってかなり相関係数の意味は変わってくるが、一例としてはアンケートでは以下の表のような見方もある。 相関係数の範囲評価−1〜−0.7強い負の相関−0.7〜−0.4かなりの負の相関−0.4〜−0.2やや負の相関−0.2〜0.2ほとんど相関なし0.2〜0.4やや正の相関0.4〜0.7かなりの正の相関0.7〜1強い正の相関

性質 確率変数 および定数 に対して、共分散は以下の性質をもつ。

対称性

双線形性

分散との関係 同一の確率変数の共分散は、その確率変数の分散 に等しい。

和の分散 2つの確率変数の和の分散は、それぞれの分散と共分散の和で表される。

一般に 個の確率変数 の和の分散は次のようになる。

独立性と無相関 確率変数 と が独立であるならば、それらの共分散は 0 になる。

共分散が 0 である（すなわち相関係数が 0 である）とき、 と は無相関であるという。ただし、逆は必ずしも成り立たない。つまり、 と が無相関であっても、両者が独立でない（非線形な従属関係が存在する）場合がある。

一般化

共分散行列

次元列ベクトル値の確率変数 および に対し、その共分散は 行列として一般化される。これを互いに共分散行列（または交差共分散行列）と呼ぶ。

その 成分は個別の共分散 に対応する。特に の場合、 は単に の分散共分散行列（または共分散行列）と呼ばれ、半正定値行列となる。

複素確率変数 複素数値をとる確率変数 に対して、共分散は複素共役を用いて以下のように定義される。

この定義により、自己共分散 は常に非負の実数（分散）となる。また、エルミート対称性 が成り立つ。

確率過程における自己共分散

確率過程 （ は時間や空間のインデックス）において、異なる時点 での確率変数の間の共分散は**自己共分散関数** と呼ばれる。

特に、確率過程が弱定常である場合、自己共分散は時間差 のみに依存する関数 となる。

共分散作用素 ヒルベルト空間やバナッハ空間値確率変数といった無限次元空間に値をとる確率要素に対する一般化として、共分散作用素（）が存在する。 を実可分ヒルベルト空間、 を 上の二乗可積分な確率要素とするとき、共分散作用素 は、任意の に対して内積 を用いて次のように定義される。

この作用素 は自己共役かつ非負値のトレースクラス作用素であり、主成分分析の無限次元への拡張（関数データ解析など）において基礎的な役割を果たす。

脚注

参考文献

関連項目 分散 (統計学) 分散共分散行列 自己共分散 相関係数 共分散構造分析 確率過程