物理学と数学において、体球調和関数（たいきゅうちょうわかんすう、）は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数 と、原点が特異点となる非正則な（irregular）体球調和関数 の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。
導出および球面調和関数との関係 空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。
ここで l2 は無次元化した角運動量演算子
の2乗である。
知られているように、球面調和関数 Ylm は演算子 l2 の固有関数である。
Φ(r) = F(r) Ylm をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。
ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数
であり、また一部が非正則な体球調和関数
である。
ラカーの正規化 の正規化（Racah's normalization、またはシュミットの準正規化（Schmidt's semi-normalization））はいずれの関数にも適用でき、単位（"1"）への正規化の代わりに
とするものである（非正則な体球調和関数についても同様）。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。
加法定理 正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。
ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。
類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。
ここで とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。
参考文献
加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。 R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977) M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)
実関数形式
±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道や実数値のに現れ、重要である。以下でその導出を行う。
線形結合
先述と同じ定義で、
ただし
ここで は l 次のルジャンドル多項式である。
この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon–Shortley phase）として知られている。
実の正則体球調和関数は次のように定義される。
また m = 0 に対しては
線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。
z-依存因子
u = cosθ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。
ここで
z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。
(x,y)-依存因子
次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると
同様に
これらより、次のように定義する。
まとめ
低次の関数のリスト
l = 5 以下の関数の明示式を記す。ここで
低次の と は次の通りである。
{| class="wikitable" |- ! m ! Am ! Bm |- | 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
参考文献