偏微分方程式の数値解法

偏微分方程式の数値解法 (へんびぶんほうていしきのすうちかいほう、) は、数値解析において偏微分方程式を数値的に解く技術の総称である森正武. 数値解析 第2版. 共立出版.。

背景 数値解法の必要性 これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの偏微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、ソリトン方程式に対する広田の方法広田良吾. (1992). 直接法によるソリトンの数理. 岩波書店.や:en:inverse scattering transformAblowitz, M. J., & Segur, H. (1981). Solitons and the inverse scattering transform. SIAM. などを除いて、偏微分方程式を手計算だけで厳密に解く技術はほとんどないに等しい。そのため多くの研究者たちが偏微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた。 差分法とその問題点

偏微分方程式を数値的に解く技術の中で最も初歩的なものは差分法である。これは微分を差分で近似して解くというものである。

この方法で精度良く解けるということは少なからずあるが、万能な解法ではない。例えば KdV方程式 mKdV方程式 ナビエ・ストークス方程式 非線形シュレディンガー方程式 などは非線形性によって差分法では精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 (幻影解) にたどり着く危険がある。そのため、有限要素法・有限体積法などのように差分法以外の方法が追求されると同時に、よりよい差分化を模索する動きが始まった。

差分法の進化 ここで言う「よりよい差分化」とは、元の方程式が持つ何らかの性質を保存した差分化のことである。着目する性質によって流派が異なる。 可積分差分スキーム

広田良吾R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 4116-4124.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 2074-2078.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 43 (1977) 2079-2086.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 45 (1978) 321-332.R. Hirota, J. Phys. Soc. Jpn. 46 (1979) 312-319.やAblowitzたちM. J. Ablowitz and J. F. Ladik, J. Math. Phys. 16 (1975) 598-603.M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, J. Math. Phys. 17 (1976) 1011-1018.M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, Stud. Appl. Math. 55 (1977) 213-229.M. J. Ablowitz and J. F. Ladik, Stud. Appl. Math. 57 (1977) 1-12.は可積分性 (, 可積分系で最も重要視される性質) を保存する差分化スキームを開発した。これは今日では可積分差分スキームとして知られており、差分法などの標準的手法と比べて精度がよくなることもわかっているT. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 192-202.T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 203-230.T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1984), 231-253.T. R. Taha and M. J. Ablowitz, J. Comput. Phys., 55 (1988), 540-548.。差分間隔を自動で調整する可積分差分スキームも開発されているFeng, B. F., Maruno, K. I., & Ohta, Y. (2010). A self-adaptive moving mesh method for the Camassa–Holm equation. :en:Journal of computational and applied mathematics, 235(1), 229-243.。

構造保存型数値解法 一方で、多くの偏微分方程式は物理現象に由来しているので、保存則・散逸則など何らかの物理的性質を保存した差分化も考えられる。このような差分解法は構造保存型数値解法 () と総称される松尾宇泰, & 宮武勇登. (2012). 微分方程式に対する構造保存数値解法 (サーベイ, 科学技術計算と数値解析研究部会). 日本応用数理学会論文誌, 22(3), 213-251.松尾宇泰. (2012). 構造保存差分スキームについて (Progress in Mathematics of Integrable Systems).。代表的なものとして、 シンプレティック数値解法Hairer, E., Lubich, C., & Wanner, G. (2006). Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. :en:Springer Science & Business Media.吉田春夫. (1995). シンプレクティック数値解法 (古典力学の輝き--未解決問題と新しい発見). 数理科学, 33(6), p37-46.佐々成正, 吉田春夫, 非線形 Schrödinger 方程式に対する symplectic 数値解法, 日本応用数理学会論文, 10 (2000), 119‐131. 離散勾配法Gonzalez, O., Time integration and discrete Hamiltonian systems, J. Nonlinear Sci., 6 (1996), 449‐467.Greenspan, D., Discrete Models, in Applied Mathematics and Computation, Addison‐Wesley Publishing Co., Reading, 1973ハミルトン方程式に対する離散勾配法のRiemann構造不変性 (日本応用数理学会論文誌 2016, Vol.26, No.4, pp.381-415) 石川歩惟, 谷口隆晴.A. Ishikawa and T. Yaguchi, Geometric investigation of the discrete gradient method for the Webster equation with a weighted inner product, JSIAM Lett., 7 (2015), 17-20.A. Ishikawa and T. Yaguchi, Invariance of Furihata's Discrete Gradient Schemes for the Webster Equation with Different Riemannian Structures, AIP Conf. Proc. 1648, 180003 (2015). 離散変分法降籏大介, 森正武. 偏微分方程式に対する差分スキームの離散的変分による統一的導出. 日本応用数理学会論文誌, 8 (1998), 317–-340.Takayasu Matsuo, Masaaki Sugihara, Daisuke Furihata, and Masatake Mori, Spatially Accurate Dissipative or Conservative Finite Difference Schemes Derived by the Discrete Variational Method, Japan J. Indust. Appl. Math., 19 (2002), 311-330. 離散変分導関数法Furihata, D., & Matsuo, T. (2010). Discrete variational derivative method: a structure-preserving numerical method for partial differential equations. Chapman and Hall/CRC.金澤宏紀, 松尾宇泰, & 谷口隆晴. (2013). コンパクト差分に基づく離散変分導関数法 (理論). 日本応用数理学会論文誌, 23(2), 203-232. などがある。数値線形代数との関連も研究されているMiyatake, Y., Sogabe, T., & Zhang, S. L. (2018). On the equivalence between SOR-type methods for linear systems and the discrete gradient methods for gradient systems. :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 342, 58-69.宮武勇登, 曽我部知広, & 張紹良. (2017). 微分方程式に対する離散勾配法に基づく線形方程式の数値解法の生成. 日本応用数理学会論文誌, 27(3), 239-249.。

汎用解法 可積分差分スキーム・構造保存型数値解法は高精度な解法だが、与えられた方程式の性質に依存するため、汎用性が低いという弱点がある。そのため現代でも、可積分差分スキーム・構造保存型数値解法の研究と並行して、高精度で汎用性のある差分法が研究されている。例えば、 Shortley-Weller 近似Bramble, J. H., & Hubbard, B. E. (1962). On the formulation of finite difference analogues of the Dirichlet problem for Poisson's equation. :en:Numerische Mathematik, 4(1), 313-327.Matsunaga, N., & Yamamoto, T. (2000). Superconvergence of the Shortley–Weller approximation for Dirichlet problems. :en:Journal of computational and applied mathematics, 116(2), 263-273.Yamamoto T. (2001) A New Insight of the Shortley-Weller Approximation for Dirichlet Problems. In: Alefeld G., Rohn J., Rump S., Yamamoto T. (eds) Symbolic Algebraic Methods and Verification Methods. Springer, Vienna Swarztrauber-Sweet 近似Swarztrauber, P. N., & Sweet, R. A. (1973). The direct solution of the discrete Poisson equation on a disk. :en:SIAM Journal on Numerical Analysis, 10(5), 900-907.Strikwerda, J. C., & Nagel, Y. M. (1986). A Numerical Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations in Three-Dimensional Cylindrical Geometry (No. MRC-TSR-2948). WISCONSIN UNIV-MADISON MATHEMATICS RESEARCH CENTER.Matsunaga, N., & Yamamoto, T. (1999). Convergence of swartztrauber-sweets approximation for the poisson-type equation on a disk. Numerical functional analysis and optimization, 20(9-10), 917-928. Ascher-Mattheij-Russell 差分公式Fang, Q. (2006). Convergence of Ascher-Mattheij-Russell Finite Difference Method for a Class of Two-point Boundary Value Problems. INFORMATION, 9(4), 563.Zhang, X. Y. (2010). A New Ascher-Mattheij-Russell Type FDM for Nonlinear Two-point Boundary Value Problems. INFORMATION-AN INTERNATIONAL INTERDISCIPLINARY JOURNAL, 13(4), 1185-1194. 等がある。

解の存在検証

ここまで高精度に解く技術について説明したが、それと並行して「計算機で解の存在を検証する」という研究もおこなわれている精度保証付き数値計算の基礎』大石進一 編著、コロナ社、2018年。中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算 チュートリアル: 応用数理最前線.中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, サイエンス社.中尾充宏. (2009). 偏微分方程式の解に対する数値的存在検証. 電子情報通信学会 基礎・境界ソサイエティ Fundamentals Review, 2(3), 3_19-3_28.。このような研究が必要となるのは、近似解が求まったとしてもそれが幻影解である危険性があるからである。実際、すでに幻影解は報告されているBreuer, B., Plum, M., & McKenna, P. J. (2001). "Inclusions and existence proofs for solutions of a nonlinear boundary value problem by spectral numerical methods." In Topics in Numerical Analysis (pp. 61–77). Springer, Vienna. Gidas, B., Ni, W. M., & Nirenberg, L. (1979). "Symmetry and related properties via the maximum principle." Communications in Mathematical Physics, 68(3), 209–243.。解の存在検証に関する研究は活発に行われておりLiu, X., & Oishi, S. (2013). Verified eigenvalue evaluation for the Laplacian over polygonal domains of arbitrary shape. :en:SIAM Journal on Numerical Analysis, 51(3), 1634-1654.Liu, X., & Oishi, S. (2013). Guaranteed high-precision estimation for interpolation constants on triangular finite elements. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 30(3), 635-652.Oishi, S. (1995). Numerical verification of existence and inclusion of solutions for nonlinear operator equations. :en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 60(1-2), 171-185.Oishi, S. (1994). Two topics in nonlinear system analysis through fixed point theorems. IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, 77(7), 1144-1153.、2012年度日本数学会秋季賞や2011年度日本応用数理学会論文賞 Numerical verification method of solutions for elliptic equations and its application to the Rayleigh-Bénard problem, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics Vol.26, Issue 2-3, Oct. 2009, pp.443--463, Yoshitaka Watanabe(Kyushu University), Mitsuhiro T. Nakao(Kyushu University)を受賞している。 固有値評価 解の一意存在性検証など、偏微分方程式に関連する多くの問題は微分作用素の固有値評価と密接に関係している。そのため、偏微分方程式の近似解法・誤差評価の研究と並行して、固有値問題の近似解法Fox, L., Henrici, P., & Moler, C. (1967). Approximations and bounds for eigenvalues of elliptic operators. :en:SIAM Journal on Numerical Analysis, 4(1), 89-102.Yuan, Q., & He, Z. (2009). Bounds to eigenvalues of the Laplacian on L-shaped domain by variational methods. :en:Journal of computational and applied mathematics, 233(4), 1083-1090.Babuška, I., & Osborn, J. (1991). Eigenvalue problems.Bramble, J. H., & Osborn, J. E. (1973). Rate of convergence estimates for nonselfadjoint eigenvalue approximations. :en:Mathematics of computation, 27(123), 525-549.Boffi, D., Brezzi, F., & Gastaldi, L. (2000). On the problem of spurious eigenvalues in the approximation of linear elliptic problems in mixed form. :en:Mathematics of computation, 69(229), 121-140.Boffi, D., Duran, R. G., & Gastaldi, L. (1999). A remark on spurious eigenvalues in a square. Applied mathematics letters, 12(3), 107-114.・誤差評価Liu, X. (2015). A framework of verified eigenvalue bounds for self-adjoint differential operators. Applied Mathematics and Computation, 267, 341-355.について様々な研究がなされている。 関連する関数解析学の概念 ニュートン＝カントロビッチの定理Sekine, K., Takayasu, A., & Oishi, S. I. (2014). An algorithm of identifying parameters satisfying a sufficient condition of Plum's Newton-Kantorovich like existence theorem for nonlinear operator equations. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(1), 64-79. 半群・解析半群Mizuguchi, M., Takayasu, A., Kubo, T., & Oishi, S. I. (2017). A method of verified computations for solutions to semilinear parabolic equations using semigroup theory. :en:SIAM Journal on Numerical Analysis, 55(2), 980-1001. 関連ライブラリ・ソフトウェア VCP C++で作成されたライブラリで, BLAS・LAPACKによる高速化が可能である関根晃太, "偏微分方程式の解の計算機援用存在証明法のためのC++を用いた精度保証付き数値計算ライブラリの構築", 第59回プログラミング・シンポジウム :en:ChebfunDriscoll, T. A., Hale, N., & Trefethen, L. N. (2014). Chebfun guide.Platte, R. B., & Trefethen, L. N. (2010). Chebfun: a new kind of numerical computing. In Progress in industrial mathematics at ECMI 2008 (pp. 69-87). Springer, Berlin, Heidelberg.Hashemi, B., & Trefethen, L. N. (2017). Chebfun in three dimensions. :en:SIAM Journal on Scientific Computing, 39(5), C341-C363.Wright, G. B., Javed, M., Montanelli, H., & Trefethen, L. N. (2015). Extension of Chebfun to periodic functions. :en:SIAM Journal on Scientific Computing, 37(5), C554-C573. 有限要素法 FreeFem++Hecht, F. (2012). New development in FreeFem++. Journal of numerical mathematics, 20(3-4), 251-266.Hecht, F., Pironneau, O., Le Hyaric, A., & Ohtsuka, K. (2005). FreeFem++ manual.Sadaka, G. (2012). FreeFem++, a tool to solve PDEs numerically. arXiv preprint arXiv:1205.1293.大森克史, & 山口範和. FreeFem++ と ParaView による非線形現象の可視化. :en:FEniCS ProjectAlnæs, M., Blechta, J., Hake, J., Johansson, A., Kehlet, B., Logg, A., ... & Wells, G. N. (2015). The FEniCS project version 1.5. 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これまで解の存在検証・計算機援用証明が行われた方程式 ポアソン方程式 アレン・カーン方程式大石進一 et. al. (2019). 半線形楕円型境界値問題の精度保証付き数値計算結果の改善. 日本応用数理学会論文誌, 29(1), 17-45. ナビエ・ストークス方程式Watanabe, Y., Yamamoto, N., & Nakao, M. T. (1999). A numerical verification method of solutions for the Navier-Stokes equations. In Developments in reliable computing (pp. 347-357). Springer, Dordrecht.Nakao, M. T., Hashimoto, K., & Kobayashi, K. (2007). Verified numerical computation of solutions for the stationary Navier-Stokes equation in nonconvex polygonal domains. Hokkaido Mathematical Journal, 36(4), 777-799.