マッカイグラフ

マッカイグラフ（）とは、有限群と有限次元複素線型表現から定まる箙であり、のの構造に関連する情報を表している。箙の各頂点はの既約指標 , …, に対応し、次元表現の指標とのテンソル積が

と分解されるとき、頂点からへ本の矢を描く。一般線型群の有限部分群に対して、のマッカイグラフとはの自然表現のマッカイグラフを指す。

表現のカルタン行列はと定義される。ここでは次単位行列であり、は隣接行列である。がの元ならベクトルはカルタン行列の固有値に対応する固有ベクトルである。

（）に由来するマッカイ対応（）とは、特殊線型群の有限部分群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形との間に一対一の対応があることを述べたものである。この関係は、単純リー代数のに現れる。

定義 Gを有限群とし、VをGの表現とする。をその指標とする。をGの既約表現とする。

であるとき、Gのマッカイグラフを次のように定義する:

Gの各既約表現はの頂点に対応する。 nij > 0であるとき、からへ有向辺を張る。そして、その辺の重みはnijとする: . もし nij = njiである場合とに、矢印の代わりに辺を張る。加えて、もしnij = 1であれば、対応する辺に重みは書かない。

nijは内積を考えることにより計算できる。以下の式が成り立つ:

ここで、は指標たちの内積である。

GL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは、そのカノニカルな表現のマッカイグラフとして定義される。

SL(2, C)の有限部分群については、カノニカルな表現は自己双対であり、従ってnij = njiが任意のi,jについて成り立つ。故に、SL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは無向グラフとなる。

実は、マッカイ対応により、SL(2, C)の有限部分群と拡張コクセター・ディンキン図形の間にA-D-E型の一対一対応関係がある。

Vのカルタン行列Cを次のように定義する:

ここではクロネッカーのデルタである。

いくつかの結果有限群 G の表現 V が忠実であるのは、V のマッカイグラフは連結であるとき、かつそのときに限る。 SL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは自己ループをもたない。すなわち、nii = 0が全てのiについて成り立つ。 SL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフの有向辺の重みは常に1かそれより小さい。

例 G = A × Bとし、AとBのカノニカルな既約表現cAとcBがあるとする。, i = 1, ..., kがAの既約表現で、, j = 1, ..., ℓがBの既約表現であるとしたとき、

はの既約表現で、である。この場合、以下が成り立つ。

故に、Gのマッカイグラフのとに辺があるのは、 Aのマッカイグラフのとに辺があり、かつBのマッカイグラフのとの間に辺があるときに限る。このとき、Gのマッカイグラフの辺の重みはAとBのマッカイグラフの対応する辺の重みの積となる。

フェリックス・クラインは、SL(2, C)の有限部分群が二項正多面体群であることを示した。マッカイ対応は、この二項多面体群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形の間に一対一の対応があることを述べている。例えば、としよう。SL(2, C)の各部分群SU(2, C)の各部分群と共役である。SU(2, C)の行列を考えよう:

ここでεは1の8乗根である。すると、はS, U, Vにより生成される。言い換えると、次が成り立つ:

の共役類は次の通り:

の指標表は

ここでである。カノニカルな表現は cによって表される。内積を考えることで、のマッカイグラフはの拡張コクセター・ディンキン図形であることが分かる。

マッカイグラフ

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