代数幾何学用語一覧（だいすうきかがくようごいちらん、）では、代数幾何学で使われる用語を一覧にまとめる。
、、も参照。数論的な応用については参照。
この記事では、簡単のために基底スキームについての明記をしばしば省略する。つまり、ある基底スキーム S 上のスキームのことを単にスキームと言ったり S 射のことを射と言ったりする。
あ行 （abelian） 1. アーベル多様体は完備な群多様体のこと。複素多様体 （代数多様体であるとき）や有限体 上の楕円曲線 など。 2. はアーベル多様体の平坦族のこと。
（affine） 1. アフィン空間とは、おおまかに言うと原点がどこか忘れたベクトル空間のこと。 2. アフィン多様体はアフィン空間の中の多様体。 3. アフィン・スキームは環のスペクトルであるようなスキームのこと。 4. は、任意の開アフィン部分集合の原像がアフィンになる射のこと。ケレン味のある言い方をすると、アフィン射とは、OX 代数の層の大域的な Spec を環のスペクトルと同様な方法でとることにより作られた射のこと。ベクトル束や有限射などが重要なアフィン射。 5. 射影空間の閉部分代数多様体 X 上のは X の斉次座標環の Spec。
（Arakelov geometry） 有理整数環 ℤ の Spec のコンパクト化上の代数幾何学。参照。
（artinian） 0次元かつネーターであること。スキームに対しても環に対しても使われる。
（Artin stack） 代数的スタックの別名。
（stable） 1. 安定曲線とは、おとなしい特異点を持つ曲線のこと。振る舞いのよいを作るために使われる。 2. は、を作るために使われる。
（algebraic geometry over the field with one element） 目標の１つはリーマン予想を証明すること。「一元体」や参考文献を参照。
（divisorial） 1. 正規多様体上のとは、あるヴェイユ因子 D で OX(D) とかける反射的層のこと。 2. とは、可逆層の豊富族があるスキームのこと。豊富な可逆層があるスキームが基本的な例。
（Weil divisor） 余次元 1 のサイクルのこと。こちらのほうが標準的な呼び方。「因子 (代数幾何学)」参照。
（Weil reciprocity） 「」参照。
（étale） 射 がエタールとは、平坦かつ不分岐であること。同値な定義がいくつかある。 と が代数的閉体上の滑らかな多様体の場合には、エタール射であることと接ベクトル空間に同型写像 が誘導されることは同値であり、微分幾何学におけるエタール写像と同じ概念である。エタール射は重要な射の種類である。の定義に使われ、これから現在の代数幾何学の礎石の１つであるエタール・コホモロジーが作られる。
（conic） 次数が 2 の代数曲線。
（pencil） 1 次元の線形系。
（Euler sequence） とは、層の完全系列
のこと。ここで、Pn は体上の射影空間、最後のゼロではない項は。
か行 （open） 1. スキームの射 が開（閉）とは、基礎位相空間の写像が開（閉）であること。つまり、Y の開部分スキームが X の開部分スキームに写されること（閉の場合も同様）。例えば、有限表示の平坦射は開で、固有写像は閉である。 2. スキーム X の開部分スキームは、開部分集合 U に構造層 をつけたもの。
（invertible sheaf） 階数が 1 の局所自由層。乗法群 のと言っても直線束と言っても同じこと。
（Castelnuovo–Mumford regularity） スキーム S 上の射影空間 上の連接層 F のは、全ての i > 0 に対して
となる最小の整数 r のこと。
（rigid） が自明なものしか存在しないこと。例えば、射影空間は なので堅い（を使う）。
（rigidify） "自己同型を無くす"というような意味で使われる言葉。使用例："レベル構造をいれて堅くする。"
（secant variety） とは、与えられた射影多様体 の全ての 内の割線の合併の閉包のこと。
（Gabriel–Rosenberg reconstruction theorem） とは、スキーム X は X 上の準連接層の圏から復元できるという定理である。この定理はの出発点である。を定義するには、この定理を公理とし、その上の準連接層の圏を定義すればよいからだ。 https://mathoverflow.net/q/16257 も参照。
（Calabi–Yau） カラビ・ヤウ計量とは、リッチ曲率がゼロであるケーラー計量のこと。
（Cartier） S 上のスキーム X の有効カルティエ因子 D は、X の閉部分スキームであって、S 上平坦かつそのイデアル層が可逆（階数が1で局所自由）であるもの。
（geometric quotient） 群スキーム G の作用を持つスキーム X のとは、ファイバーが軌道となるような良い商のこと。
（geometric property） 体 k 上のスキーム X の性質が""とは、任意の体の拡大 についての で成り立つこと。
（geometric point） 代数的閉体のスペクトルのこと。
（geometric genus） 滑らかな n 次元射影多様体 X のとは
のこと。等号はセール双対性による。
（orbifold） 近年では、は可微分多様体の圏上のとして定義されることが多い。
（ind-scheme） はスキームの閉埋入の帰納的極限。
（irreducible） スキーム X が既約とは、位相空間として、片方が X そのものでない限り2つの閉部分集合の和集合としてかけないことをいう。アフィンスキームの素イデアルと点の対応を使うと、X が既約であることと、X が連結かつ環 Ai は全て極小素因子をちょうど１つ持つことは同値であることが分かる。このことから、ちょうど１つの極小素因子を持つ環はと呼ばれる。任意のネータースキームは、一意的に有限個の空ではない極大既約閉部分集合（既約成分と呼ばれる）の和集合としてかける。アフィン空間と射影空間は既約だが、Spec k[x,y]/(xy) = は既約ではない。
（spherical variety） とは、正規 G 多様体（G は連結な簡約群）であって G のボレル部分群による稠密な開軌道を持つもの。
（strict transform） 閉部分スキーム Z に沿ってのブロー・アップ と射 が与えられたとする。Y の（固有変換ともいう）とは、閉部分スキーム に沿っての Y のブロー・アップ のこと。f が閉埋入なら、誘導された写像 も閉埋入である。
（finite type (locally)） 射 が局所有限型とは、 にアフィン開集合 による被覆があり、 それぞれの逆像 がアフィン開集合 により被覆され、 全ての が 代数として有限生成であること。射 が有限型とは、 にアフィン開集合 による被覆があり、全ての逆像 が有限個のアフィン開集合 により被覆され、それぞれの が 代数として有限生成であること。
（local uniformization） は、付値環を使って弱い形での特異点解消を構成する方法。
（local） スキームの重要な性質の多くは局所的な性格を持っている。つまり、スキーム X がある性質 P を持つのは、X の開部分スキーム Xi による任意の被覆 X= Xi において全ての Xi が性質 P を持つとき、かつそのときに限る。普通は、１つの被覆についてチェックすれば十分で、全てについてチェックする必要はない。ザリスキー位相とのような他の位相を区別したいときは、ザリスキー局所的な性質ともいう。スキーム X とアフィン開部分スキーム Spec Ai による被覆を考える。環とアフィン・スキームの対応を使うと、局所的性質とは環 Ai の性質である。性質 P が上述の意味で局所的であるのは、対応する環の性質が局所化に関して閉じているとき、かつそのときに限る。例えば、ネーター環のスペクトルで被覆されるものを局所ネータースキームという。ネーター環の局所化は再びネーターであることから、局所ネーターというスキームの性質は上述の意味で局所的である（なのでこの名前がつけられている）。もう１つの例は、環が被約（ゼロでない冪零元を持たないこと）であることである。被約なら、その局所化もそうである。非局所的な性質の例は、分離性である（定義は後述 #分離的）。任意のアフィンスキームは分離的なので、任意のスキームは局所的には分離的である。しかし、アフィンスキームを病的な方法で貼り合わせると非分離的なスキームができあがる。次は、スキームに適用される環の局所的性質の（網羅的ではない）一覧である。X = Spec Ai をスキームのアフィン開部分スキームによる被覆とする。簡単のために、以下では k を体とする。ほとんどの例は底が整数環 Z でも、あるいはより一般の底でも通用する。連結、既約、被約、整、正規、正則、コーエン・マコーレイ、局所ネーター、次元、鎖状。
（local complete intersection） 局所環が完全交叉環であること。も参照。
（locally Noetherian） Ai がネーター環。加えて、有限個のそのようなアフィンスペクトルで X を被覆することができるとき、スキームはネーターであるという。ネーター環のスペクトルはネーター的位相空間であるが、逆は正しくない。例えば、有限次元の代数幾何学におけるほとんどのスキームは局所ネーターであるが、 はそうではない。
（locally factorial） 局所環が一意分解環であること。
（locally of finite type） 射 が局所有限型とは、 にアフィン開集合 による被覆があり、 逆像 はそれぞれアフィン開集合 によって被覆され、 は 代数として有限生成であること。
（curve） 1次元代数多様体。
（surface） 2次元の代数多様体。
（big） n 次元 X 上の L とは、 が成り立つ直線束のこと。
（Quot scheme） は、射影スキーム上の局所自由層の商をパラメトライズする。
（Grauert–Riemenschneider vanishing theorem） は小平消滅定理を高次順像層に拡張したもの。https://arxiv.org/abs/1404.1827 も参照。
（Kuranishi map） 参照。
（crepant） 正規多様体の間の射 がであるとは、 が成り立つこと。
（Grothendieck's vanishing theorem） はに関するもの。
（group scheme） とは、スキームであってその点の集合が群の構造を持つもの。
（group variety） "滑らかな"代数群の古い呼び方。
（formal） 参照。
（Kempf vanishing theorem） は旗多様体の高次コホモロジーの消滅に関するもの。
（Cohen–Macaulay）
スキームがコーエン・マコーレイとは、全ての局所環がコーエン・マコーレー環であること。例：正則スキームと Spec k[x,y]/(xy) はコーエン・マコーレイ。はコーエン・マコーレイではない。
（Kodaira dimension） 1. 半豊富な直線束 L の小平次元（飯高次元とも呼ばれる）とは、L の切断環の Proj の次元のこと。 2. 正規多様体 X の小平次元とは、その標準層の小平次元のこと。
（Kodaira vanishing theorem） 「小平消滅定理」参照。
（Cox ring） 斉次座標環の一般化。「」参照。
（proper） 射が固有とは、分離的かつ絶対閉（任意のファイバー積が閉写像であること）かつ有限型であること。射影的射は固有である。しかし逆は一般には正しくない。「」も参照。固有射の深い性質の1つはの存在である。つまり、ある中間的なスキームが存在して、このスキームへの連結ファイバーを持つ射と有限射に分解できる。
（Gorenstein） 1. とは、局所ネータースキームであってその局所環がゴレンシュタイン環であるもの。 2. 正規多様体が ℚ-ゴレンシュタインとは、標準因子が ℚ-カルティエであること（コーエン・マコーレイである必要はない）。 3. 標準因子がカルティエのときに正規多様体をゴレンシュタインと呼ぶ人もいる。これは 1. とは不整合な使い方。
（compactification） 例えば「」参照。
さ行 （catenary） スキームが鎖状とは、2つの既約な閉部分スキームの間の鎖が全て同じ長さであること。体上の多様体などほぼ全てがこれであり、鎖状でない例を作るのは困難。
（Zariski–Riemann space） とは、局所環付き空間であって、その点が付値環であるもの。
（arithmetic genus） r 次元射影多様体 X のとは、 のこと。
（dimension） は、既約閉部分スキームの鎖の最大の長さと定義される、大域的な性質である。スキームが既約であれば局所的である。これは位相にのみ依存し、構造層には依存しない。「大局次元」も参照。例：は、次元 0 のものはアルティンスキーム、1 のものは代数曲線、2 のものは代数曲面。
（degree） 1. 完備多様体上の直線束 L の次数は、整数 d で が成り立つもの。 2. 体 k 上の完備多様体 上のサイクル x の次数は 。 3. 有限射の次数については「代数多様体の射#有限射の次数」参照。
（dominant） 射 が支配的とは、像 f(X) が稠密であること。アフィンスキームの射 Spec A → Spec B が稠密であることと、対応する写像 B → A の核が B のベキ零根基に含まれることは同値。
（morphism） 1. 多様体の射は局所的に多項式 2. スキームの射は局所環付き空間としての射 3. スタックの（S スキームの圏上の）射 とは、 となる関手のこと。ここで は基底の圏への構造写像。
（gerbe） とは、おおまかに言うとスタックであって局所的に空ではなく中の2つの対象が局所同型であるようなもの。
（projection formula） とは、与えられた、スキームの射 、 加群 、有限階数の局所自由 加群 に対して、自然同型
が成り立つという公式である。一言でいうと、 は局所自由層の作用に関して線形である。
（projective bundle） E をスキーム X 上の局所自由層とする。E の P(E) とは、E の双対の対称代数の大域的 Proj
のこと。この定義が今では標準的なもの（例えば、フルトンの『Intersection theory』）であるが、EGA やハーツホーンにおけるものとは異なる。これらでは双対を取っていない。
（projective） 1. 射影多様体は、射影空間の閉部分代数多様体のこと。 2. スキーム S 上の射影スキームとは、S スキームであって構造射がある射影空間 の閉部分スキームを介して分解できるもののこと。 3. 射影的射はアフィン射と同様に定義される。 が射影的とは、射影空間 への閉埋入とこの射影空間から への射影に分解できることをいう。この定義は EGA II.5.5.2. における定義より制約の強いものである。後者では、 が射影的であることを、準連接次数付き OX 代数 の で、しかも が有限生成かつこれにより が生成されることと定義している。 がアフィン、あるいはより一般に準コンパクトかつ分離的かつ豊富層が存在するならば、2つの定義は一致するEGA, II.5.5.4(ii).。例えば、 が環 上の射影空間 の開部分スキームの場合などである。
（projectively normal） 「#正規」参照。
（weakly normal） スキームが弱正規とは、自身への有限な双有理射が同型写像になること。
（final） グロタンディークの基本的なアイデアの１つは、関係性を重視すること、つまりスキームそれ自身ではなく射を考えることであった。スキームの圏は整数環 のスペクトルを終対象として持つ。したがって、任意のスキーム は一意的な方法で 上にある。
（Schubert） 1. とは、グラスマン多様体 上の、標準的なボレル部分群 B（上三角行列のなす群）の軌道のこと。 2. とは、シューベルト・セルの閉包のこと。
（genus） 「#算術種数」と「#幾何種数」参照。
（genus formula） 射影平面の中の結節曲線についてのとは、曲線の種数は
で計算できるという公式。ここで、d は曲線の次数、δ は結節点の数（曲線が滑らかなら0）である。
（quasi-compact） 射 が準コンパクトとは、ある（全て、と言っても同じこと） X のアフィン開被覆 Ui = Spec Bi が存在して、原像 f−1(Ui) が準コンパクトになること。
（pure dimension） スキームが純次元 d を持つとは、各既約成分の次元が d であること。
（quasi-projective） とは、局所的に閉な射影空間の部分代数多様体のこと。
（quasi-separated） 射 が（ Y は X 上準分離的ともいう）とは、対角射 が準コンパクトであること。スキーム Y が準分離的とは、Y が Spec(Z) 上準分離的であること。
（quasi-finite） 射 が有限ファイバーとは、全ての点 のファイバーが有限集合であること。射が準有限とは、有限型かつ有限ファイバーであること。
（quasi-coherent） ネータースキーム X 上の準連接層とは、OX 加群の層で局所的に加群で与えられるもののこと。
（quotient stack） は、スキームや多様体の商を一般化したもの。通常 [X/G] と表記される。
（adjunction formula） 1. X を代数多様体、D をその上の有効なカルティエ因子とし、ともに があったとする。このとき、
が成り立つ。これを随伴公式という。 2. X と D が滑らかであれば、この公式は次と同値:
ここで は D と X の標準因子。
（scheme） スキームとは、局所的には可換環のスペクトルである局所環付き空間のこと。
（stack） スタックは自己同型を持つ点の集合をパラメトライズする。
（integral） 被約かつ既約なスキームは整と呼ばれる。局所ネータースキームに対しては、整であることと整域のスペクトルで被覆できる連結スキームであることは同値である。（厳密に言えば、2つの整スキームの非交和は整ではないので、これは局所的性質ではない。しかし、既約なスキームについては、これは局所的性質である。）例：スキーム Spec k[t]/f は f が既約多項式なら整。Spec A×B は（A, B ≠ 0 なら）整ではない。
（normal） 1. 局所環が整閉整域である整スキームのことをという。例えば、全ての正則スキームは正規だが、特異点のある曲線は正規ではない。 2. 滑らかな曲線 が k 正規とは、次数 k の超曲面が完備線形系 を切断すること。全ての k > 0 に対して k 正規であるとき、射影的に正規という。"曲線は、埋め込みに対応する線形系が完備であるとき射影的に正規"といってもいい。"線形正規"は 1 正規と同義。 3. 閉部分代数多様体 が射影的に正規とは、X 上のアフィン被覆がであること。つまり、X の斉次座標環が整閉整域であること。これは 2. における定義と整合的である。
（normal crossings） 「」参照。
（normally generated） 代数多様体 X 上の直線束 L が正規生成とは、全ての整数 n > 0 に対し自然な写像 が全射であること。
（property P） P をスキームの性質で、基底変換してもこの性質が失われないようなものとする。例えば、"有限型"、"固有"、"滑らか"、"エタール"などである。このとき、表現可能な射 が性質 P を持つとは、任意の （B はスキーム）に対して、基底変換 が性質 P を持つことをいう。
（generic point） 稠密な点。
（regular） とは、局所環が正則局所環であるスキームのこと。例：体上のは正則。一方、Spec k[x,y]/(x2+x3-y2)== は正則ではない。
（regular function） 代数多様体からアフィン直線への射。
（regular embedding） がであるとは、X の任意の点に対して Y のあるアフィン近傍が存在し、そこにおける X のイデアルが正則列で生成されること。i が正則埋入なら、i の、つまり X のイデアル層を と置くと で定義される層は局所自由である。
（Serre duality） 「#双対化層」参照。
（Serre's conditions Sn） 参照。https://mathoverflow.net/q/22228 も参照。
（universally） 射がある性質を絶対的に（もしくは強く、普遍的に）持つとは、その射の全ての基底変換が同じ性質を持つことを言う。例：強鎖状、絶対閉射（普遍的閉と訳されることもある）。
（section ring） スキーム X 上の直線束 L の（切断の環ともいう）とは、次数付き環 のこと。
（tangent space） 「ザリスキー接空間」参照。
（linearization） /ベクトル束の構造についての他の言い方。
（image） をスキームの射としたとき、f のスキーム論的像とは、次の普遍性を満たす一意に定まる閉部分スキーム のことをいう。 f は i を経由する を X の任意の閉部分スキームで f が j を経由するものとしたとき、i もまた j を経由するThe Stacks Project, Chapter 21, §4. この概念は f の通常の集合論的像 f(Y) とは異なる。例えば、Z の基礎位相空間は常に X における f(Y) のザリスキー閉包を含む（が必ずしも一致しない）。それゆえ、Y が X の任意の開（そして閉ではない）部分スキームで f が包含写像なら、Z は f(Y) とは異なる。Y が被約なら、Z は被約閉部分スキームの構造をいれた f(Y) のザリスキー閉包になる。しかし一般的には、f が準コンパクトでない限り Z の構成は X 上局所的ではない。
（dualizing sheaf） 純次元 n の射影的なコーエン・マコーレイ・スキーム上のとは、X 上の連接層 であって X 上の任意の局所自由層 F に対して
を満たすもの。X が滑らかな射影多様体の場合には、標準層がこれにあたる。
（dualizing complex） 「」参照。
（birational morphism） 双有理射とは、スキームの射で、ある稠密な開部分集合に制限すると同型写像となるもの。ブローアップが典型例。
た行 （sheaf generated by global sections） 大域切断の集合で全ての点における層の茎が張られる層のこと。「加群の層」参照。
（degeneration） 1. スキーム X がスキーム （X の極限という）にするとは、（一般ファイバーとも）が X かつが であるようなスキーム が存在することをいう。 2. は、 が平坦であるような退化のこと。
（degeneracy locus） 代数多様体 X 上のベクトル束の写像 （束の全空間の間の X 射のこと）が与えられたとき、とは次の（スキーム論的な）軌跡のことをいう。
（symmetric variety） の類似物。「」参照。
（logarithmic geometry） （log structure） 参照。フォンテーヌ、イリュジー、加藤によるもの。
（algebraic geometry） 代数幾何学は代数方程式の解を研究する数学の分野。
（Éléments de géométrie algébrique） 代数幾何原論（EGA）は、代数多様体の一般化であるスキームの概念を用いて代数幾何学の基礎を構築しようとした、未完に終わった試みである。Séminaire de géométrie algébrique では EGA で扱われなかったものが取り上げられている。代数幾何学の標準的な参考文献の１つ。
（algebraic space） は、スキームのによる商のこと。
（algebraic group） 代数群は、群でもある代数多様体で、群演算が多様体の射となっているもののこと。
（algebraic variety） 体 k 上の代数多様体とは、 上有限型かつ整かつ分離的なスキーム。k が代数的閉体と仮定しない場合には少し病的なことが起こる。例えば、 は、座標環 が整域ではないので多様体ではなくなる。
（Grothendieck ring of varieties） とは、代数多様体の同型類で生成される自由アーベル群を関係式
で割ったもの。ここで Z は代数多様体 X の閉部分代数多様体である。乗法は
と定義する。
（algebraic set） 体 k 上の代数的集合は、 上有限型な被約かつ分離的なスキームのこと。既約な代数的集合は代数多様体と呼ばれる。
（algebraic scheme） 体上有限型で分離的なスキームのこと。代数多様体は被約かつ既約な代数的スキーム。
（algebraic vector bundle） 有限階数の局所自由層。
（elliptic curve） 楕円曲線とは、種数 1 の滑らかな射影曲線のこと。
（plurigenus） 滑らかな射影多様体の第 n 多重種数とは、 のこと。ホッジ数も参照。
（variety） 代数多様体と同じ意味。
（simple） 「単純点」は「滑らかな点」の古い言い方。
（Chow group） 滑らかな多様体 X の k 次チャウ群 は、k 次元閉部分代数多様体で生成された自由アーベル群（k サイクルの群）をで割ったもの。
（central fiber） 1. 特殊ファイバーのこと。
（hyperelliptic） 曲線が超楕円曲線とは、g12 であること（つまり、次元 1 かつ次数 2 の線形系が存在すること）
（hyperplane bundle） の別名。これはの双対でもあるので、こう呼ばれる。
（theorem） 「」、「」、「」、「:Category:代数幾何学の定理」などを参照。
（point） スキーム は局所環付き空間なので、基礎となる位相空間を持っている。しかし の点には次の三種類の意味がある。 基礎位相空間の点 。 の 値点。 は任意のスキーム。 から への射のこと。 幾何学的点。 が体 の 上定義され（かつこれへの射を備えており）ているとき、 の代数的閉包 のスペクトラム から への射へのことをいう。