7の平方根（ななのへいほうこん、）は、平方して7となる実数である。すなわち、 をみたす実数であり、冪根形式では、 指数形式ではと表される。無理数かつ代数的数である。
この記事では、について記述する。
最初の60桁の有効数字は
これは約99.99%の精度（1000分の1）以内で2.646に切り上げることができるが、正確な値とは約異なっている。（≈ 2.645833...）の方がより良い近似値である。分母がわずか48しかないにもかかわらず、正確な値とは（33000分の1）未満の差しかない。
の小数表示100万桁以上が公開されている。
有理近似
数百年もの間、様々な方法によって(分母が10の累乗で表される分数による有理数)による平方根の近似を行う導出方法によって、7の平方根は教科書の例や練習問題として用いられてきた。1773年と1852年には5桁、1835年には3桁、1808年には6桁、1797年には7桁という精度で計算されていた。また、ニュートン法による近似値の計算方法が1922年に試され、7の平方根は2.646に1000分の1の単位の小数で最も近いという計算結果となった。
7の平方根は次の連分数によって表される:
7の平方根の連分数展開を用いた近似値()は次のような値をとってに近づく:
この連分数の分子は順に 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257,...()と続き、
分母は1, 1, 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192,...()と続く。 この連分数は最良有理近似であり、分母が各分数の分母未満のどの有理数よりに近い。この連分数を小数で表した数は次のようににおおむね一定の有効数字桁の増加(1桁/1段階未満)をもって収束する:
から4個ごとに分数をとってとおくと、これらはペル方程式:
を満たす。
When is approximated with the Babylonian method, starting with and using , the th approximant is equal to the th convergent of the continued fraction:
All but the first of these satisfy the Pell's equation above.
The Babylonian method is equivalent to Newton's method for root finding applied to the polynomial . The Newton's method update, is equal to when . The method therefore converges quadratically (number of accurate decimal digits proportional to the square of the number of Newton or Babylonian steps). 幾何学
平面幾何学において、は一連の動的な長方形により、すなわち上図の長方形の最大の対角線として表される。
辺の長さが2の正三角形に外接する最小の長方形は長さの対角線を持つ。 数学以外の分野
現行のアメリカ合衆国1ドル紙幣の裏にある大きな内箱は長さと幅の比がで、対角線の長さが6.0インチである（測定精度の範囲内で）。 関連項目 平方根 2の平方根 3の平方根 5の平方根 6の平方根 10の平方根
脚注