ディリクレ定理 (ディリクレていり、英：Dirichlet's theorem on Fourier series) は、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレが証明したディリクレの定理(Dirichlet's_theorem)と呼ばれる定理のひとつで、フーリエ級数の各点収束に関する定理である。
解説 周期 の周期関数 が、1周期の区間（例えば ）において以下のディリクレ条件（Dirichlet conditions）を満たすとする。
1. は有界である。
2. は極値（極大値および極小値）を有限個しか持たない（あるいは区分的に単調である）。
3. は不連続点を有限個しか持たず、それらはすべて第1種不連続点（跳躍不連続点）である。
このとき、 のフーリエ級数
は、すべての実数 において のとき次のように収束する：
が で連続であれば、フーリエ級数は に収束する。 が で不連続であれば、フーリエ級数は左右極限の平均値
に収束する。（ここで , である。）
特に、 が全領域で連続であり、かつ各点で左右の微分可能性が保証される（区分的平滑である）ならば、フーリエ級数は に一様収束する。
証明の型 関数のフーリエ部分和 は、ディリクレ核 を用いた畳み込みとして表現できる：
ここでディリクレ核 は次のように定義される：
解析学においては、関数 の連続点および跳躍不連続点において、この積分表現にリーマン・ルベーグの補題を適用することで極限値を導出する。
証明
ディリクレ核を用いると、フーリエ級数の第 n 部分和は
と表される。 は偶関数なので、
となる。
ここで
とおく。 は の近傍で有界変動なので、
は の右側で有界変動で、
である。よって、
となる。
任意の （）をとり、積分を と に分ける。
後者については
が 上で可積分なので、リーマン・ルベーグの補題より、
となる。
前者について
とおく。 は の右側で有界変動で、
である。
有界変動関数は単調増加関数の差として表せるので、単調増加関数 をとり、
とする。
第二平均値定理より、 ある が存在して、
と
となる。
よって、
ディリクレ積分の評価から、右辺の積分は に関して一様有界である。
よって、
より、 と、
を得る。
例 周期 を持ち、 で次のように定義される矩形波関数 を考える：
この関数のフーリエ級数展開は次のようになる：
連続点における収束: において、 である。フーリエ級数はライプニッツの公式より、 となり、元の値に収束する。
不連続点における収束: において、, であり、関数自体は不連続である。ディリクレ定理によれば収束値は平均値である になるはずである。実際、フーリエ級数に を代入すると、すべての項が となり、総和は 0 に収束する。
脚注
参考文献 日本評論社編、エリアス・M. スタイン ラミ・シャカルチ 著、 新井仁之、杉本充、 高木啓行、 千原浩之 訳「フーリエ解析入門」2007年。