カタランの定数

数学において、カタランの定数（カタランのていすう、）とは、ディリクレベータ函数を用いて以下のように定義される定数である。

その数値はおよそ

とされる（）。

が無理数・超越数なのかは未だに分かっていない.。は「無理数や超越数であるかどうかが（そうであると強く推測されながらも）今だ明らかでない最も基礎的な定数」だと言われている。しかし、2026年10月7日、人工知能企業のOpenAIは、「カタランの定数は無理数である」とする証明を含む。この論文は10月14日現在プレプリントであり、「カタランの定数は無理数か？」という未解決問題は解決とはなっていない。

カタランの定数は、級数の数値計算のために素早く収束する級数を発見し、1865年にその回顧録を出版したウジェーヌ・カタランに因んで名付けられた。

適用事例低次元トポロジーにおいて、カタランの定数はイデアルな双曲八面体の体積の1/4であり、したがってホワイトヘッド環の補集合の双曲体積の1/4である.。また、ボロミアン環の補集合の体積の1/8である。組み合わせ数学と統計力学において、上のドミノタイリングや全域木、ハミルトン路の数え上げと関連している。数論において、カタランの定数はハーディ・リトルウッドのF予想でのという形で表される素数の個数の漸近式に現れる。しかしながら、この形式をした素数が無限個存在するかどうかすら未解決（の1つ）である。渦巻銀河のの計算においてカタランの定数が現れる。双曲線正割分布において、分布のエントロピーはカタランの定数の倍である。グーデルマン関数のグラフ、y軸および漸近線で囲まれる領域（のうち有限領域であるほう）の面積は、カタランの定数の4倍に等しい。

既知の桁カタランの定数の既知の桁数は、ここ数十年で飛躍的に増加した。これはコンピュータの性能の向上およびアルゴリズムの改善によるものである。

+ 十進法でのカタランの定数の既知桁数日付十進法での桁数計算者 1832年 16 トーマス・クラウゼン 1858年 19 Carl Johan Danielsson Hill 1864年 14 ウジェーヌ・シャルル・カタラン 1877年 20 ジェームズ・W・L・グレーシャー 1913年 32 ジェームズ・W・L・グレーシャー 1990年 Greg J. Fee 1996年 Greg J. Fee 1996年8月14日 Greg J. Fee & サイモン・プラウフ 1996年9月29日 Thomas Papanikolaou 1996 Thomas Papanikolaou 1997 Patrick Demichel 1998年 Xavier Gourdon 2001年 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2002 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2006年10月近藤茂 & Steve Pagliarulo 2008年8月近藤茂 & Steve Pagliarulo 2009年1月31日 Alexander J. Yee & Raymond Chan 2009年4月16日 Alexander J. Yee & Raymond Chan 2015年6月7日 Robert J. Setti 2016年4月12日 Ron Watkins 2019年2月16日 Tizian Hanselmann 2019年3月29日 Mike A & Ian Cutress 2019年6月16日 Seungmin Kim 2020年9月6日 Andrew Sun

積分表示 Seán Stewart が述べたように、「カタランの定数と等しい、あるいはカタランの定数で表現できる定積分は非常に多く、いくらでも存在するかのようである」。そのうちいくつかを以下に示す。

このうち、最後の3式はの積分と関連している。

を楕円率の函数とした第一種完全楕円積分とすると、次の式が成り立つ。

を楕円率の函数とした第二種完全楕円積分とすると、次の式が成り立つ。

ガンマ函数を用いて

次の積分はとして知られる特殊函数であり、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって詳しく研究された。

他の特殊函数との関係はとして知られる第二ポリガンマ函数の分数変数に対応する従属変数として現れる。

サイモン・プラウフはトリガンマ函数、およびカタランの定数の間で成立する（グラフ上の道として表現可能な）無限個の恒等式を与えている。

カタランの定数はクラウゼン函数、、逆正弦積分、バーンズの函数などとの関係や、前述の函数を用いた積分・級数においてよく現れる。

一例として、を閉じた形（つまりはクラウゼン函数）で表し、そのクラウゼン函数をバーンズの函数で表すことで次の式が得られる。

と関連したレルヒ超越函数（）を

と定義すると、次の関係が成り立つ。

収束の早い級数以下の2公式は収束の早い級数を含んでおり、数値計算に適している。

2公式の理論的基盤はそれぞれブロードハースト（Broadhurst）およびラマヌジャンによって与えられている。カタラン定数の早い評価アルゴリズムはE・カラツバ（Karatsuba）によって構築された。これらの級数を用いることで、今日ではアペリーの定数に匹敵する速さでカタランの定数を計算できる。

以下は Guillera および Pilehrood によるを利用した級数である。

これらのはとなる。

連分数は次のように表せられる。

より単純な連分数表記を以下に示す。

この連分数の項が無限個存在することはが無理数であることと同値であり、未解決のままである。

カタランの定数

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