サムネイル|199x199ピクセル|三角形、四角形、六角形におけるヴァイルの定理 幾何学において、ヴァイルの定理（ヴァイルのていり、英:Weill's theorem）とは、多角形の外接円と内接円に関する定理である。ジョゼフ・リウヴィルの雑誌『Journal de Mathématiques Pures et Appliquées』で1878年、ヴァイル（Weill）が証明した雑誌が仏語で投稿されていることから、本来の読みは仏語読みのヴェイユでないかと思われる。実際、同様人物であろうマッケイ-ヴェイユの定理のWeillは、ウェイユと訳されている。。書籍によっては、ワイルの定理、ウェイルの定理とも書かれている。
定理 nを3以上の整数とする。ポンスレの閉形定理によれば、ある2円を外接円、内接円とするn角形が一つあれば、そのようなn角形は無数に存在する"Poncelect's Porism", in MathWorld,。このとき、n角形の辺と内接円の接点が成す多角形の幾何中心は一定である。これをヴァイルの定理と言う。また、その点はヴァイル点（Weill point）と呼ばれる。
1888年、ジョン・ケイシーはn個の接点のうちm個（mは、n≧m>0を満たす整数）の点の幾何中心の軌跡は定円であることを発見した。ヴァイル点はn=mの場合である。
三角形のヴァイル点 三角形のヴァイル点は、接触三角形の重心として定義される（三角形の重心は幾何中心と一致する）"Weill point", in MathWorld. 。Encyclopedia of Triangle centersでは三角形の中心としてX(354)に登録されている。ヴァイル点は線上に存在し、ヴァイル点と外心は、内心を
に内分する。ここではそれぞれ内接円、外接円の半径である。ヴァイル点の三線座標は以下の式で与えられる。
三角形のヴァイル点はアダムス円と3辺の6つ交点の幾何中心、コンウェイ円と3辺の6つの交点の幾何中心などと一致する。
脚注 出典
注釈
関連項目 双心多角形 三角形の内接円と傍接円 外部リンク