サムネイル|最初の円の半径を変えた六円定理の例。右下は、最初の円が内接円になっている。 幾何学で、六円定理（ろくえんていり、）は、三角形と6つの円に関する定理である。についてに接する円をつくる。に接する円、に接する円と、循環的にまで定義したとき、とは接する（chainが閉じる）。この定理は1974年以降に発見された。2016年、円が三角形の内部にある場合だけでなく、外部にもある場合、6円以上の連鎖になることが発見された。
三角形の辺を円弧に変えたもの（円弧三角形）でも同様の定理がなりたつ（九円定理）。また多角形へも一般化されている（その場合周期が異なる）。
円の半径 サムネイル|217x217ピクセル 半周長が1であるについて、線分とに接する円をとする（）。また、と、その対辺と内接円の接点の距離をとして
とする。すると
を得る。このとき内接円の半径について
が成り立つ。との接点と、の距離をとして
とすると、
が成り立つ。このことと円の中心が角の二等分線上にあることから、円の半径を求めることができる。また、計算していくと、
が分かるので、連鎖が6であることが分かる。
証明 サムネイル|s=1とした場合。 とがそれぞれで接しているとする。また、の半径をとすると、
また、より
なので
である。これを用いれば
を得る。この式をについて解くと
となる。に注意すれば
となる。よって、円の半径の項で見たようにこの式を循環的に使えば、証明される。
特別な場合
内接円 サムネイル|277x277ピクセル 最初の円を内接円にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に
が成り立つので、
が従う。これは1814年の算額の書物や1781年の西洋算法でも示されているGéry Huvent,, Dunod, 2008, p. 125。他に1730年、1817年のにも書かれている。
The Ladies' Diaryでは以下の形で紹介されている。
マルファッティの円 サムネイル|270x270ピクセル 4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になりマルファッティの円となる。特に
が従う。
出典
関連項目 アポロニウスの問題 シュタイナーの円鎖 ポンスレの閉形定理 フォードの円 ミケルの定理 クリフォードの定理 五円定理 七円定理 八円定理 ダオの六角形の周上の六円定理
外部リンク