ミケルの定理

フレーム|とそのそれぞれの辺上の点に対するミケルの定理（ミケル点）。ミケルの定理（みけるのていり、）はフランスの高校教師であるオーギュスト・ミケルの名を冠する幾何学の諸定理であるA high school teacher in the French countryside (Nantua) according to 。一般にミケルの定理と言えば、次の定理を指す。三角形の3辺またはそのに点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通る円は、一点で交わる。他のミケルの定理と区別して、ミケルの三角形定理とも呼ばれる。ミケルの発見した諸定理は、ジョゼフ・リウヴィルのJournal de Mathématiques Pures et Appliquées によって出版された。

厳密にいうと、あるについて、直線上にそれぞれ点をとり、の外接円を描く。3つのミケル円は一点で交わる。さらに3つの角は等しくまた、も等しい - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem。

この定理は、内接四角形の角の性質と有向角を用いることで示すことができる。円の交点についてと角度追跡することによりの共円が示されてミケルの定理を得る。

Pivot theorem 右|サムネイル|288x288px|幾つかの三角形のPivot Theorem ミケルの定理を共線でない3点の成す三角形に着目した場合はによってPivot theorem（ミケルの要の定理）と名づけられている。

ミケル点の三線座標のに対するfractional distances（線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離）をそれぞれ、線分の長さをそれぞれとしてそのミケル点の三線座標は以下の式で表される。

ただしである。

である場合、ミケル点は外心になる。

相似な内接三角形が三角形に内接し相似であるとき、任意のにおいて、そのミケル点は不動である。

ミケルの四辺形定理の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理（Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem）という。また、この共点を四辺形のミケル点という。

この定理は、1827,1828年にヤコブ・シュタイナーによってジョセフ・ジェルゴンヌの出版物（Annales de Gergonne）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた。

ミケルの五点円定理凸な五角形について、その辺を延長し星形五角形をつくる。5つの円の、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は共円である。これをミケルの五点円定理（Miquel's pentagon theorem）という。この定理の逆として、五円定理が知られている。

ミケルの六円定理円上に四点をとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理（Miquel's six circle theorem）または六円定理（six circles theorem）、四円定理（four circles theorem）という。ただし、六円定理は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである。 David G. Wellsはこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる。

三次元におけるミケルの定理右|サムネイル|300x300ピクセル|三次元のミケルの定理:4つの球の交円（黒）は一点で交わる。ミケルの定理は三次元に一般化されている。三角形を四面体に、円を球に置き換える。4つの球は一点で交わる - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem。

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