ユークリッド幾何学においてエルデシュ・モーデルの不等式（エルデシュ・モーデルのふとうしき、）は、三角形とその内部の点について、三角形の各頂点との距離の和は、三角形の各辺との距離の和の2倍以上であるという定理である。ポール・エルデシュとルイス・モーデルに因み名付けられた。エルデシュ はこの不等式の証明の問題を発表し、その2年後に、モーデルとバロー によって証明がなされた。この不等式は実に初等的であるが、彼らによる証明は全く初等的でない。その後 、、 らによって単純な証明が与えられた。
バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式のより強力な不等式である。エルデシュ・モーデルの不等式は点と辺との距離、つまり垂線の長さに関する不等式だが、バローの不等式は角の二等分線の長さに関する不等式となっている。
主張 右|サムネイル|エルデシュ・モーデルの不等式
証明 の対辺とその長さをと表現する。またの長さをそれぞれ、間,間,間の距離をそれぞれとする。このとき
を証明する。この不等式は
と等しい。このとき、右辺は三角形の面積を表すが、左辺のは底辺をとしてみたときの三角形の高さよりも大きい。したがってこの不等式は成立する。をの角の二等分線で鏡映した点にこの不等式を用いればを得る。同様にを得る。これらの不等式を変形する。
この3つの不等式を加えて
ここで相加相乗平均の関係式よりエルデシュ・モーデルの不等式を得る。等号成立条件は、元の三角形が正三角形でが三角形の重心であることである。
他のより強い不等式 外接円をとすると、の内部の点について、を辺に対するの垂足、をにおけるの接線に対するの垂足とする。このとき
が成り立つ。等号成立条件は元の三角形が正三角形であること（; ）。
一般化 を凸n角形、をその内部の点とする。またをとの距離、をとの距離、をの二等分線との交点との距離とする。このとき次の不等式が成り立つ 。
絶対幾何学 においてもエルデシュ・モーデルの不等式が成り立つことが知られている 。ただし絶対幾何学での三角形の内角の和は180°以下であることを考慮する必要がある。
出典
参考文献 . . . . . (See D. K. Kazarinoff's inequality for tetrahedra.) . . . . 関連項目
三角形に関する不等式の一覧 ヴィヴィアーニの定理 三角不等式 オノの不等式 カルノーの定理 (垂線) 垂足三角形 外接三角形
外部リンク
Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.