サムネイル|辺長のと点。の各辺における垂足。外心。緑の線はの垂足円半径を表すのに使われる線分。 サムネイル|に関する等角共役の関係にある点。垂足円は6つの垂足、。垂足円の中心は線分の中点。角の二等分線。 サムネイル|4点 と4つの垂足円の交点 垂足円（すいそくえん、）は、幾何学において三角形と点について決まる特別な円である。具体的には、点からの辺に降ろした垂線と辺の交点（垂足）が成す三角形（垂足三角形）の外接円を指す用語Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 67–75Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), , pp. 135–144, 155, 240。
基準三角形の外心を、外接円の半径をとして、の垂足円の半径は次の式で表される。
が基準三角形の外接円上にあるとき、この式の分母は0になる。これはの垂足三角形が退化してシムソン線となり、その垂足円は半径が無限大の円となるためである。が基準三角形の内心であるとき、その垂足円は基準三角形の内接円である。が基準三角形の垂心または外心であるとき、その垂足円は九点円である。
を外接円上にない点として、の等角共役点の垂足円はの垂足円と一致する。つまり垂足とは同一円周上にある。さらに垂足円の中心は線分の中点である。
グリフィスの定理または第二フォントネーの定理によれば、基準三角形の外心を通る直線の垂足円はある定点を通る。
共線でない4点について、1点とほか3点の成す三角形に対する延べ4つの垂足円は1点で交わる。 一般化 2021年、斎藤輝は垂足円を任意の角に対して一般化した。
とすれば垂足円を得る。 出典
関連項目 オイラー・ポンスレ点 六点円 フォイエルバッハの定理 外部リンク
Pedal Circle of Isogonal Conjugates - GeoGebra pedal triangle and pedal circle 等角共役点