ケンプナー級数

ケンプナー級数（ケンプナーきゅうすう、）は、調和級数から、10進法表記において分母の整数の位に数字「9」が現れるものを除いた級数である。

1914年にオーブリー・ジョン・ケンプナーによって初めて研究された。調和級数は発散するがケンプナー級数は収束する。ケンプナーは級数が90よりも小さいことを示した。ベイリー () は級数の小数20桁の数を丸めた値（、）を求めた。

ヒューリスティックに考えると、極めて大きい整数のほとんどが位に数字9を含むということによって収束が説明できる。例えば、無作為に100桁の数を選んだとき、位に9が現れる確率は非常に高い。したがって大抵の100桁の数は調和級数から除外されることとなる。3桁の場合でも除外される数の個数の割合は28パーセントである。

シュメルツァー () とベイリー () は、より一般に特定の数が位に含まれる数を除外した級数を求める効率的なアルゴリズムを発見した。例えば、「42」を抜いた場合級数の値はとなる。「314159」を抜いた場合はとなる（双方最後の桁で丸めてある）。

収束性ケンプナーによる証明は、ハーディとの書籍、アポストルの書籍など複数の本で紹介されている。級数の各項を桁数によって分類する。位に9を持たない桁の数の個数は、上1桁の位に1から8、他桁の位に0から8を選ぶ方法の個数と等しい。また、桁の数はいずれも以上であるから、その逆数は以下である。したがって位に9を持たない桁の数の逆数和はより小さい。の総和は収束し、

であるからケンプナー級数は80以下に収束する。同様の方法で0でない1桁の数字（アラビア数字）において、位に数字を含む数を除外した級数の収束も考えることができる。0を除外する場合は上1桁を場合分けして考えなくともよく、桁の0を持たない数の個数は個あるので、その逆数和は、

より小さいことが分かる。先に示した42の場合など、任意桁の数を除外するときも、級数は収束する。証明方法も1桁の数字を位に持つ場合と同様である。まず、進法で数を表現したときに、進法で表された「」を位に持つ数を10進法の場合と同様に除外する。数を10進数に戻すと、級数にはを持たない数と、を持つもののが「桁」境界にない（10進法で数を桁ごとに区切ったときが区切りをまたぐ）数が存在している。を持たない数のみを含む級数は、を桁境界に持たない数も含む収束級数よりも小さいので、収束する。例えば、では100進法において、（100進法で表された）「42」を除外する操作を行うが、このとき4217（）や1742（）は除外されるのに対し、1427（）は除外されない。

ファリ () はケンプナー級数を一般化し、1桁の数が、位の数字に回出現する正整数の逆数和を考えた。がケンプナー級数にあたる。ファリによれば、任意のにおいて、を変数とする数列は単調減少しに収束する。数列をから始めた場合では必ずしも単調減少するわけではない。例えば、ケンプナー級数の収束値（）である。

近似法ケンプナー級数の収束は非常に遅い。ベイリーによれば、項まで計算したとしても収束値との誤差は1より大きい。

ケンプナーにより示された上界80は非常に粗い。1916年に、アーウィン () は収束値が22.4から23.3の間であることを示した。その後、上記の値22.92067...に洗練された。

ベイリーは乗の逆数和を考え、桁の数の乗の寄与を、桁の数をより大きい数で冪演算した値によって表現する方法を考案した。この方法を用いてに帰着することで、より少ない計算回数によるケンプナー級数の算出を可能にした。

アーウィンによる一般化 1916年、アーウィンはケンプナーの結果を一般化した。を非負整数とする。ある数がの位の数に回以下出現するようなの逆数和は収束する。

例えば、とすると、9を含まないあるいは1つ含む数の逆数和となり、これは収束する。ケンプナー級数（）は収束するので、9をただ1度含む数の逆数和も収束することが分かる。ベイリーは9をただ1度含む数の逆数和は約に収束することを発見した。

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ケンプナー級数

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