数学における散乱空間（さんらんくうかん、英: scattered space）とは、自己稠密な（dense-in-itself）部分集合を含まない位相空間 X である。取りも直さず、任意の空でない X の部分集合 A は孤立点を含む。
ある位相空間の部分集合が相対位相で散乱空間になるとき、これを散乱集合と呼ぶ。
例
全ての離散空間は散乱空間である。 全ての順序数は順序位相で散乱空間である。 実際、全ての空でない部分集合 A は最小元を含むが、これは孤立点である。 点位相（particular point topology）を備えた空間は散乱空間である。特に、シェルピンスキー空間は散乱空間であり、T1 空間でない散乱空間の例になっている。 散乱集合の閉包は散乱集合とは限らない。 例えば、ユークリッド空間 において、半径 の正 n 角形の頂点の集まりは、可算無限な離散集合であるが、 その閉包は自己稠密である。
性質
位相空間 X 上のある集合の閉包が自己稠密ならば完全集合でもある。即ち、X が散乱空間であることは、X が完全集合を含まないことと同値である。 散乱空間の部分集合は散乱集合である。即ち、散乱性は遺伝的性質（hereditary property）である。 全ての散乱空間 X は T0 空間である。（証明: X 上の異なる2点 の少なくとも一方は において孤立点となる。即ち、もう一方を含まないような近傍が存在する。） T0 空間において、2つの散乱集合の合併は散乱集合である。T0 空間であることは必要である．例えば、 に密着位相を入れると、 と は共に散乱集合であるが、その合併である X 自体は、孤立点を持たないので散乱集合ではない。 全ての T1 散乱空間 X は totally disconnectedである。 （証明: 空でない連結な X の部分集合 C はある孤立点 x を含む。この一点集合 は開かつ閉である。ところで C は連結なので に等しくなければならない。これにより X の全ての連結成分は1点のみを持つことが示された。） 全ての第二可算な散乱空間は可算である。 全ての位相空間 X は完全集合と散乱集合の非交和で一意的に書ける。 全ての第二可算空間 X は完全集合と可算な散乱開集合の非交和で一意的に書ける。 （証明: 完全集合と散乱集合の分解と、第二可算な散乱空間に関する上記の主張を、第二可算空間の部分集合は第二可算であることを踏まえて、用いればよい。） さらに、全ての第二可算空間 X の部分集合は、 X の完全部分集合と可算な散乱集合の非交和で一意的に書ける。 これは任意のポーランド空間で成り立つ。この事実は Cantor–Bendixson theoremに述べられている。
Notes
参考文献 Engelking, Ryszard, General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
脚注