ヴォルテラ空間

ヴォルテラ空間（ヴォルテらくうかん、）とは、数学の位相空間論において、稠密な Gδ集合の有限個の共通部分が再び稠密となるような位相空間のことである。

背景と動機 名称はイタリアの数学者ヴィト・ヴォルテラに由来する。ヴォルテラは1881年の論文において、現代的な用語で言えば「実数体における2つの稠密な 集合の共通部分は再び稠密である」という事実を用いたVolterra, V., "Alcune osservasioni sulle funzioni punteggiate discontinue", Giornale di Matematiche 19 (1881), 76–86.。

実解析において、ある関数の連続点の集合は常に 集合となる。ヴォルテラはこの性質を利用し、例えば「有理数体で連続かつ無理数体で不連続な関数」が存在しないことを証明した（詳細はヴォルテラの定理を参照）。ヴォルテラ空間の概念は、このような「稠密な連続点集合を持つ関数」が複数存在する際に、それらの共通の連続点集合が依然として稠密であるかどうかという問いを位相空間論的に一般化したものである。

定義 位相空間 がヴォルテラ空間であるとは、任意の稠密な 部分集合の有限族 に対し、それらの共通部分

が において稠密であることをいう。定義において「有限個」を「可算個」に置き換えたものがベール空間に相当する。

性質と例 すべてのベール空間はヴォルテラ空間である。これは、ベール空間の定義が「稠密な開集合の可算個の共通部分が稠密である」ことであり、稠密な開集合は稠密な 集合の特殊なケースにあたるためであるGruenhage, G. and Lutzer, D., "Baire and Volterra spaces", Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 3115–3124.。 ヴォルテラ空間の逆は必ずしもベール空間ではない。しかし、距離化可能なヴォルテラ空間は、必ずベール空間になることが知られているCao, Jiling and Junnila, Heikki, "When is a Volterra space Baire?", Topology Appl. 154 (2007), 527–532.。 ヴォルテラ空間の開部分空間は、再びヴォルテラ空間となる。 ヴォルテラ空間の積空間が再びヴォルテラ空間になるかという問題は、空間の性質（第一可算公理の有無など）に依存する。一般にベール空間の積が必ずしもベール空間にならないのと同様、ヴォルテラ空間においても積の性質は自明ではない。 非ベール空間であるヴォルテラ空間の古典的な例として、有理数体 のような孤立点を持たない可算距離空間が挙げられる。これらはベール空間ではないが、距離化可能なヴォルテラ空間の性質（ベール空間と一致する）により、より複雑な非距離化可能空間においてその差異が顕著となる。

関連概念 強ヴォルテラ空間（Strongly Volterra space） 任意の稠密な 集合の可算族の共通部分が稠密であるような空間を指す場合があるが、これは実質的にベール空間の定義に近い。現代的な研究では、写像の連続性に関連した、より限定的な条件下での稠密性を議論する際にこれらの変種が用いられる。 出典

参考文献 Cao, Jiling and Gauld, D, "Volterra spaces revisited", J. Aust. Math. Soc. 79 (2005), 61–76. Cao, Jiling and Junnila, Heikki, "When is a Volterra space Baire?", Topology Appl. 154 (2007), 527–532. Gauld, D. and Piotrowski, Z., "On Volterra spaces", Far East J. Math. Sci. 1 (1993), 209–214. Gruenhage, G. and Lutzer, D., "Baire and Volterra spaces", Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 3115–3124. Volterra, V., "Alcune osservasioni sulle funzioni punteggiate discontinue", Giornale di Matematiche 19 (1881), 76–86. 関連項目 ヴォルテラの定理 ベールのカテゴリー定理 Gδ集合 稠密集合 第一類集合