サーペンタイル（英: serpentile、複数形: serpentiles）は、サイコパス（英: Psyche-Paths）、カリコ（英: Kaliko）、タントリックスなど、さまざまなマッチングパズル型の連結系抽象戦略ゲームで用いられる六角形タイルに対して、Kurt N. Van Ness が付けた名称である。 それぞれのタイルでは、1色から3色の線によって、6辺をさまざまな構成で結ぶ経路が描かれる。各辺は、特定の経路の形状と色によって別の辺に接続される。ゲームプレイは一般に、プレイヤーが交互にタイルを置く形で進行する。各手番では、既に置かれているタイルに隣接するようにタイルを置き、タイルの辺をまたいで同じ色の経路が連続するようにする。
サーペンタイルは、Brett J. Gilbert が開発し、ThinkFun が2008年に発売した1人用連結パズルゲームの名称でもある。2008年版のサーペンタイルには、正方形（1×1）タイル、長方形（2×1）タイル、および連続した経路を作るために並べるべきタイルのリストを示すチャレンジカードが含まれる。
タイル表記 Van Ness は、タイルに描かれた経路に基づいてタイルの分類を表す3桁表記も考案した。表記 xyz は次の内容を表す。
x = 隣接度3、すなわち2辺分離れた辺（向かい合う辺）を結ぶ経路の数 y = 隣接度2、すなわち1辺分離れた辺を結ぶ経路の数 z = 隣接度1、すなわち0辺分離れた辺（隣接する辺）を結ぶ経路の数
隣接度3が最大であることは明らかである。6辺があるため、辺同士を結ぶ経路は3本であり、この表記の各桁の和は常に3になる。Van Ness は、 を隣接度 の線分数としたとき、 という数学的記述も示している。 経路色の違いを当面無視すると、6辺と3本の経路による異なる組合せは5種類である。
回転位置 六角形を、左右に平らな辺を持つ同じ向きに保つ辺合わせ回転は60°である。正六角形には、潜在的に6通り（360°/60°）の辺合わせ回転位置がある。観察すると、300 は回転対称性を持つ。60°回転しても同じ辺同士が結ばれるため、300 の一意な回転位置は1つである。同様に、003 には一意な回転位置が2つある。60°回転すると経路によって結ばれる辺は変わるが、同じ向きにもう一度60°回転すると、再び元の辺同士が結ばれる。同様に、102 と 120 はそれぞれ一意な回転位置を3つ持ち、021 は一意な回転位置を6つ持つ。
各回転位置を一意に記述するため、各辺に1から6までの番号を反時計回りに順番に付けた基準フレームを考えることができる。辺同士を結ぶ経路は、結ばれた番号の対として記述できる。
例えば上の 003 では、右下の辺から反時計回りに進むと、経路または対の表記は 12-34-56 になる。この形を1回だけ辺合わせ回転させると、反時計回りの場合は各数字に1を加え、時計回りの場合は各数字から1を引く。計算は6を法として行う。このため、反時計回りに1回（60°）辺合わせ回転させると、結ばれる経路は 23-45-67 になり、6を法として書き直すと 23-45-61 になる。これは、1回の辺合わせ回転によって、結ばれる辺が変化することを示している。対の内部の順序、および対を書く順序は、構成に影響しない。例えば、23-45-61 は 23-45-16 および 16-23-45 と同値である。したがって、2回目の辺合わせ回転によって 34-56-12 が得られると、これが元の向きである 12-34-56 と同値であることを簡単に示せる。
基準フレームは、時計回りに順番に番号を付けてもよい。その場合、時計回りの回転では値が1増え、反時計回りの回転では値が1減る。基準フレームの向き（時計回りまたは反時計回り）は、タイルを回転させる際に必要な算術だけに影響する。同様に、基準フレームの原点、すなわちどの辺を第1辺とするかの選択は任意である。ただし、回転中は基準フレームを固定したままとする。 +分類見た目の 異なる 向きの数向きの一覧00320216102312033001 結ばれた辺によってタイルを記述すると、3桁の Van Ness 表記も暗黙に含まれる。任意の3つの対からなる列 AB-CD-EF について、Van Ness 表記は次の式で復元できる。
正方形 正六角形は平面を隙間なく敷き詰めることができるが、正四角形、すなわち正方形も同様に利用できる。辺同士を結ぶ2本の経路を持つ正方形は、同様に2桁表記 yz で記述できる。可能な構成は2種類だけである。六角形の場合と同様に、20、すなわちすべての経路が向かい合う辺を結ぶ場合は回転対称性を持つ。02 には回転対称性がないことは明らかである。タイルを時計回りまたは反時計回りに90°回転させると、別の辺同士が結ばれるからである。フレームなし|20x20ピクセル と、同じタイルを90°回転させた フレームなし|20x20ピクセル を比較できる。回転対称性を持たない正方形タイルは、セバスチャン・トゥルシェが1704年の論文「Mémoire sur les combinaisons」で述べ、1987年にシリル・スタンリー・スミスが広めたトゥルシェ・タイルとして知られる。.. Pauline Boucher によるトゥルシェ本文の翻訳を含む。
正八角形 同様に、正八角形は8辺を4本の経路で対にすることができる。これは Van Ness の表記を類似の方法で用い、4桁表記 wxyz によって記述される。異なる組合せは18種類である。先の六角形および正方形の例と同じく、すべての向かい合う辺を結ぶ場合（4000）は回転対称性を持つ。八角形では、表記だけでは経路構成を一意に記述できない点に注意が必要である。ギャラリーには 0121 と 1111 という2つの重複表記がある。1111 の組は鏡像である。これらのタイルを区別するために、回転位置表記を適用できる。下辺から始めて反時計回りに番号を付けた基準フレームを用いると、上の 0121(a) は「0121 12-36-47-68」と書け、0121(b) の「0121 12-38-46-57」と区別される。同様に、1111(a) は「1111 12-36-48-57」であり、1111(b) の「1111 13-25-48-67」と区別される。8を法とする剰余演算を用いると、1111(a) と (b) はそれぞれ、反時計回りに1回の辺合わせ回転（45°）を行うことで「15-24-36-78」および「15-68-47-23」の位置に移る。このことから、両者の対になった反射対称性が示される。
これらの八角形タイルは、ここで述べた正方形タイルを45°回転させ、隙間を埋めるために併用することで、すべての辺をまたいで経路を持つ平面充填を構成できる。
各辺に2つの接続点を持つ正多角形 ここまでの議論では、各辺に1つの接続点を持ち、各辺が経路で結ばれる、4辺、6辺、8辺の正多角形を扱った。経路は2つの異なる辺を結ぶため、各辺に1つの接続点しかない場合、すべての接続点が経路で結ばれるようにするには、辺の数が偶数である正 2n 角形が必要になる。奇数個の辺を持つタイルの場合も、同様に偶数個の接続点があれば、すべての接続点を経路で結ぶことができる。 右|サムネイル|ここでは 003(a) と (b) の両方が再現されている。(b) の変種は、内接する三角形によって得られる。 例えば、正三角形は各辺に2つの接続点を持つことができる。1枚のタイルに3本の経路を用いる場合、潜在的な組合せは7種類あり、上に示す通りである。 Van Ness 表記は、辺ではなく隣接度を数えるように修正すれば適用できるが、この表記だけで各タイルを一意に記述することはできない。ただし、003(a) と (b) の関係は、ここに示す例のように三角形を内接させることで確認できる。同様の三角形を 021(a) の場合にも内接させることで、021(b) との関係を示せる。
タイルを経路の対で記述した方が簡単な場合がある。各辺に2つの接続点を持ち、3本の経路を持つ三角形タイルの集合では、番号は下辺の左側の点から始まり、反時計回りに順番に進む。
1回の完全な回転は、タイルを120°（=360°/3辺）回転させる。回転の計算は、6を法として2を加えることで行う。タイル (12-34-56) を考える。観察によれば、このタイルを1回以上完全に回転させても、結ばれる点は変化しない。これを示すために、反時計回りに1回回転させると構成は (34-56-78) になり、剰余演算を行うと (34-56-12) になる。これは (12-34-56) と並べ替えられるため、1回の回転が結ばれる経路に影響しないこと、すなわちこのタイルの異なる回転位置は1つであることが示される。一方、タイル (13-26-45) を考えると、このタイルを反時計回りに1回および2回回転させた構成は、それぞれ (16-24-35) と (15-23-46) になる。したがって、このタイルは3つの異なる回転位置を持つ。
同様に、各辺に2つの接続点を持つ正方形では、1枚のタイルに4本の経路を用いる組合せが35種類ある。 完全な回転は90°であり、回転対称性は、上の正三角形の場合と同様に、8を法として2を加えることで判定できる。この、各辺に2つの接続点を持ち、1枚あたり4本の経路を持つ正方形タイルの集合は、市販のボードゲーム Tsuro で用いられている。
場合によっては、(a) と (b)［または (a) と (x)］の対は、同様に正方形を内接させることで得られる。それ以外の場合、[(a) と (b)] または [(x) と (y)] の集合は鏡像の対である。
正多角形への一般化 一般の場合として、タイルが n 辺の正多角形で、各辺に m 個の接続点を持ち、積 が偶数であるとき、異なる組合せの数は として計算できる。
はオイラーのφ関数であり、 である。 は次のように定義される条件付き関数である。
例えば、各辺に1つの経路を持つ正十角形（合計5本の経路）は、105通りの組合せを持つ。 +各辺に m 個の接続点を持つ n 辺タイルにおける一意なタイル数辺の数 n ／ 各辺の接続点数 m0123456780（円）1—1—2—5—181（一角形）1—1—3—15—1052（二角形）1131165513536368219N/C3（三角形）1—7—3483—N/C—N/C4（正方形）12352688508277N/CN/CN/CN/C5（五角形）1—193—N/C—N/C—N/C6（六角形）151799N/CN/CN/CN/CN/CN/C7（七角形）1—19311—N/C—N/C—N/C8（八角形）118254143N/CN/CN/CN/CN/CN/C9（九角形）1—N/C—N/C—N/C—N/C10（十角形）1105N/CN/CN/CN/CN/CN/CN/C （元の出典にある値の多くは N/C とされており、これは未計算を意味する。）
派生例 +サーペンタイルを用いたゲーム名称年経路の色タイル素材タイル数備考サイコパス19693厚紙85 + 空白6枚カリコ1980年代初期3ルーサイト （透明）852001年まではルーサイト製。現行版では竹または木製タイルを用いる。木タントリックス19884プラスチック561枚のタイルには最大3色が現れる。裏面に番号がある。Triple Cross タイルは使われない。
サイコパス サイコパス（英: Psyche-Paths） は1人から6人で遊ぶゲームである。プレイヤーは交互にタイルを置く。既に置かれているタイルに隣接して新たに置くタイルは、既存の隣接辺上の経路の色を継続しなければならない。6枚の空白タイルは「ワイルドカード」として用意され、隣接する任意の経路を継続するものとみなされる。ゲーム開始時には1枚のタイルを引き、場の中央に置いてゲームの「種」とする。
ビギナー・サイコパスでは、プレイヤーは自分の手番に、裏向きのタイルの山から1枚を引く。つながった経路1本につき1点が与えられる。プレイヤーがそのタイルを置けない場合、または不正な置き方をした場合、そのタイルは保持され、ゲーム終了時に、保持しているタイルを通る経路の本数に等しい点数を減点される。
スタンダード・サイコパスでは、2人から4人のプレイヤーがゲーム開始時にそれぞれ6枚の手札を引く。各手番では、プレイヤーは自分のタイルを任意の枚数、またはすべて置くことができ、手番終了時に裏向きタイルの山から補充して手札を6枚に戻す。タイルを置く際、点数は既存の経路の端が2つ以上接続された場合にのみ与えられる。プレイヤーは、接続された色の経路を含むタイル数に等しい点数を得る。経路が自分自身と交差した場合は3点が与えられ、経路が閉じた場合は得点が2倍になる。残ったタイルによる減点はない。 クラシック・サイコパス はスタンダードに似ているが、各手が、その手で置かれたすべてのタイルを通る1本の経路を作らなければならないという規則が追加される。
ソリティア・サイコパスには明確な規則はなく、合法手を用いて長さ8枚と9枚の列を交互に作るといった提案が示されている。
正多角形タイルを用いるその他のゲーム 正方形タイルは、単色の経路を持つ Black Path Game や、2色の経路を持つ Trax などのコネクションゲームで用いられる。単色の経路を持つ八角形タイルは、あらかじめリンクが印刷されたゲーム盤と隙間部分とともに、ゲーム Octiles で用いられる。
2008年版の Serpentiles は Brett J. Gilbert によって開発され、ThinkFun によって2008年に発売された。 2008年版の Serpentiles には19枚のプラスチック製タイルが含まれる。内訳は、各タイルに緑または青の経路が1本印刷された正方形（1×1）タイル4枚、長方形（2×1）タイル12枚、および青と緑の経路終端が一致する正方形（1×1）のノードタイル3枚である。2008年版にはさらに、40枚のチャレンジカードが含まれており、そこには各色1本ずつの連続した経路を作るように並べるべきタイル（二つのノードを含む）のリストが示されている。
歴史 最初期の六角形タイルによる辺合わせ型連結ゲームである Psyche-Paths は、Charles Titus と Craige Schensted によって設計され、1960年代に発売された。 これは、85種類の一意なタイル組合せと6枚の空白「ワイルドカード」を厚紙タイルとして含んでいた。 あるレビューでは、研究者たちがこのゲームについて「幅広い年齢、関心、プレイスタイルに対応し……教師や保護者にとって特に関心のある多くの技能を含む」と述べている。 Charles の息子である Steve Titus は、1980年代に家族経営の Future Games のもとで、シルクスクリーン印刷されたアクリルタイルを用いるカリコとしてこのゲームを再発売した。カリコは1986年に Kadon にライセンスされ、2001年以降は木製タイルに切り替えられた。
タントリックスは1988年に、発明者 Mike McManaway によって発売された。これは、可能な5種類の経路組合せのうち4種類（Van Ness 表記では 003、021、102、120、ただし 300 は除外）を用いて、4色のパレットから選んだ3色をそれぞれ持つ56枚の一意なタイルを作るものである。タントリックスの主な革新は、タイル裏面に番号を符号化した点であり、これにより56枚の部分集合を1人用パズルに用いることができる。
六角形タイルの集合 1枚のタイルに最大3種類の異なる経路色を用いると仮定した85枚の完全な集合を、表記と色数ごとに整理して下表に示す。 003、別名 Triple Bend（トリプルベンド）1色2色3色58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル 021、別名 Single Cross（シングルクロス） または Cross Bend（クロスベンド）1色2色3色58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 102、別名 Double Bend（ダブルベンド）1色2色3色58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル 120、別名 Double Cross（ダブルクロス）1色2色3色58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル 300、別名 Triple Cross（トリプルクロス）1色2色3色58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル 58x58ピクセル58x58ピクセル58x58ピクセル タントリックスは、3種類の異なる経路色を持つタイルの部分集合だけを用い、''300'' Triple Cross 系列を除外する。タントリックスでは4種類の経路色が可能であり、その中から異なる3種類の経路色を選ぶ色の組合せは4通りあるため、完全な集合には56枚の一意なタントリックスタイルが含まれる。
003: 3経路色を持つタイル2枚 × 経路色の組合せ4通り = 003 集合のタントリックスタイル8枚 021: 3経路色を持つタイル6枚 × 経路色の組合せ4通り = 021 集合のタントリックスタイル24枚 102: 3経路色を持つタイル3枚 × 経路色の組合せ4通り = 102 集合のタントリックスタイル12枚 120: 3経路色を持つタイル3枚 × 経路色の組合せ4通り = 120 集合のタントリックスタイル12枚
+タントリックスのタイル分類/集合経路 経路 経路 経路00360x60ピクセル#1460x60ピクセル#0360x60ピクセル#2160x60ピクセル#2360x60ピクセル#2560x60ピクセル#2860x60ピクセル#4360x60ピクセル#4502160x60ピクセル#0160x60ピクセル#1160x60ピクセル#0860x60ピクセル#1760x60ピクセル#1960x60ピクセル#3160x60ピクセル#2960x60ピクセル#3760x60ピクセル#4160x60ピクセル#5360x60ピクセル#5560x60ピクセル#4660x60ピクセル#1060x60ピクセル#1260x60ピクセル#0760x60ピクセル#1860x60ピクセル#2060x60ピクセル#3360x60ピクセル#2760x60ピクセル#3860x60ピクセル#3660x60ピクセル#5460x60ピクセル#5660x60ピクセル#5210260x60ピクセル#0260x60ピクセル#1360x60ピクセル#0560x60ピクセル#2260x60ピクセル#1660x60ピクセル#1560x60ピクセル#2660x60ピクセル#3060x60ピクセル#2460x60ピクセル#4960x60ピクセル#4760x60ピクセル#4812060x60ピクセル#0660x60ピクセル#0960x60ピクセル#0460x60ピクセル#3560x60ピクセル#3460x60ピクセル#3260x60ピクセル#4260x60ピクセル#4060x60ピクセル#3960x60ピクセル#4460x60ピクセル#5060x60ピクセル#51
脚注
外部リンク