数学、特に幾何学および組合せ論において、 超平面配置（ちょうへいめんはいち、Arrangement of hyperplanes、Hyperplane arrangement）とは、ベクトル空間 内の 超平面からなる有限集合のことである。 ベクトル空間のかわりに、アフィン空間や射影空間を考えることもある。 空間はアンビエントスペースと呼ばれる。 超平面配置に含まれるすべての超平面が原点を含む、つまり、 部分ベクトル空間であるとき、 それを中心的超平面配置と呼ぶ。
超平面配置の理論においては、 全空間から超平面達を除いた空間、 つまり超平面配置の(和集合の)補集合の、 幾何学的もしくはトポロジカルな性質に関する問題を、 超平面配置やそのインターセクションセミラティスの性質と関連させて考えることが多い。 超平面配置に含まれるいくつかの超平面の共通部分をすべての組合せについて集めたものを リバースインクルージョンにより半順序集合としたものがインターセクションセミラティスである。 つまり、 の部分集合に対し、 とし、 とした上で、
に対し
で定義される半順序を考えたものである。 ただし、 と約束する。
の元を
のフラットと呼ぶこともある。 超平面配置の文脈においては、 超平面配置そのものではなく インターセクションセミラティスにのみ依存する性質(または概念)を、 組合せ論的性質(または概念)と呼ぶ。
アンビエントスペースが二次元の場合、 超平面は直線に他ならず、 超平面配置は直線配置と呼ばれる。 歴史的には実空間内の直線配置から研究が始まった経緯がある。 アンビエントスペースが三次元の場合、 超平面配置は平面配置のことである。
一般論
インターセクションセミラティスとマトロイド
インターセクションセミラティス
はローワーセミラティスである。 より正確には、 ジオメトリックセミラティスになっている。 ベクトル空間もしくは射影空間内の超平面配置の場合や 超平面配置に含まれるすべての超平面の共通部分が空集合ではない場合には、
は、 ジオメトリックラティス となる。 なお、 リバースインクルージョンによる半順序よりも、 包含関係による半順序の方が一見自然に見えるが、 包含関係による半順序ではジオメトリックセミラティスにならない。
が束(ラティス)であるとき、 をのとすると、 を台集合とし、 をランク関数とする マトロイド が得られる。 一般には、 はセミラティスであり、 セミマトロイドと呼ばれるマトロイドに類似する構造が定義できる。
多項式不変量
超平面配置の特性多項式は、
で定義される。 ただし、アフィン空間を考えている場合には、 共通部分が空集合となるものは除いて和をとる。 この多項式は後述の基本的な問題を解く際に有益である。 また、 超平面配置から定義される多項式としては、
で定義される ホイットニーナンバー多項式
というのもの知られている
が ジオメトリックセミラティスであることから、 は、 マトロイドとしての特性多項式を持つ。 最も次元の低いフラットの次元をとすると、
となる。 ただし、射影空間内の超平面配置を考えているときには、
となる。 ホイットニーナンバー多項式も同様にと関連する。
オゥリック=ソロモン代数
インターセクションセミラティスは、オゥリック=ソロモン代数と呼ばれる組合せ論的不変量を定める。 基礎体の可換部分環を固定し、 で添字付けられた基底をもつ 上の次元ベクトル空間
の外積代数 を考える。 通常の境界作用素により、 上のチェイン複体の構造を定める。 をみたす境界の元 および となるものに対し、
を考え、それらで生成されるイデアルによる の剰余として オゥリック=ソロモン代数は定義される。
実超平面配置
実超平面配置であれば、その補集合は非連結である。 連結部分はセル、リージョン、チェンバーなどと呼ばれる。 これらは、 有界領域(つまり凸ポリトープ(の内部))の場合のときもあれば、 非有界領域(つまり非有界凸ポリヘドラル領域)の場合もある。 また各フラットもそのフラットを含まない超平面により いくつかのピースに分割される。 これらのピースは、の面と呼ばれる。 全空間自体もフラットであることから、 補集合の連結部分は面である。 コディメンジョンが1である面はのファセットと呼ばれる。 すべての面を集め包含関係で半順序集合の構造を入れたものは、 のフェースセミラティスと呼ばれる。 このセミラティスに最大限を外挿し束(ラティス_としたものは、 フェースラティスと呼ばれる。
二次元空間内つまりアフィン平面内で考える場合、 各有界領域は凸多面体であり 非有界の場合は非有界な凸多面体的領域である。
例として、三本の平行な直線からなる直線配置を考える。この場合、インターセクションセミラティスは全空間である平面と、三本の直線からなる。補集合には4つの領域があり、どれも非有界である。 この直線配置にどの直線とも交わる直線を加えた新しい直線配置を考える。この場合インターセクションセミラティスは、平面、4本の直線、交点として現れる3点からなる。補集合の領域は8つに増えるが、どれも非有界である。 先程加えた直線と平行な直線をさらに加えた新しい直線配置を考える。領域の数は12に増え、この内2つは平行四辺形であり有界である。
次元実空間内の超平面配置の典型的な問題として、 領域、有界領域、特定の次元の面、などの個数を数えるものがある。 これらの問題は、インターセクションセミラティスの構造から決まる。 つまり組合せ論的問題である。 実際、 Zaslavsky (1975)による定理により すべての領域もしくは有界領域の個数は 特性多項式の特殊値として計算できることが知られている。 具体的には、 領域の個数は、 有界領域の個数は でそれぞれ表される。 同様に、次元の面の総数は
での の係数、 次元の有界な面の総数は
での の係数 として表される。
は入力された点を含む面を決定する高速アルゴリズムを提案している。
また、別の実超平面配置の問題として、 単体である領域の個数をもとめるというものがある。 これは、インターセクションセミラティスからは決まらない。
McMullen problemというのは、 実空間の一般の位置にある超平面配置で すべての超平面に接する領域を持たないものの中で 最小のものを与えよという問題である。
中心的実超平面配置 においては、 面のなすセミラティスの他に、 領域のなす半順序集合を考えることがある。 任意の領域を一つ固定しとおく。 領域に対し、 を とを分離する超平面のなす集合とする。 領域全体の集合に、 の包含関係で半順序の構造をいれる。 これは、 ルート系から定まる超平面配置を考えたときには、 対応するワイル群のと呼ばれる構造だと思うことができる。 一般に、この半順序集合はに含まれる超平面の総数をランクとする になっており、 そのメビウス関数も計算されている 。
Vadim SchechtmanとAlexander Varchenkoは領域で添字付けられたある行列を導入した。 各超平面に対応する不定元を用意する。 領域をとする。 このとき、 この行列の-成分を、 で定義する。 すべての変数をに特殊化したものは、 超平面配置の 行列と呼ばれており、 そのスミス標準形は様々な情報を持っていることが知られている。
複素超平面配置
複素アフィン空間においては、超平面配置の補空間は、超平面を抜いた穴があるものの連結である。 典型的な複素超平面配置の問題は、その補空間の穴を調べるというものである。
複素超平面配置の基本的な定理は、補空間のコホモロジーがインターセクションセミラティスによって完全に記述できるというものである。 より具体的には、整数係数のコホモロジーが上のオゥリック=ソロモン代数と同型である。
この同型写像はエクスプリシットに与えられており、生成系と関係式によるコホモロジー環の表示が与えられている。 超平面配置内のジェネリックな超平面を定義する線型形式に対応する対数的微分形式
を代表元とする(ド・ラームコホモロジーにおける)像を集めたものが、その生成系となっている。
技術的なこと
退化した超平面として、アンビエントスペース自身を 超平面配置に加えると都合が良い場合がある。 超平面配置が退化した超平面を含むなら、 補集合は空集合となり領域はなくなる、 それでもなお、フラット、インターセクションセミラティス、面などは意味を持つ。 なお、これまでの議論では、退化した超平面を含んでいないことを仮定していた。
また、一つの超平面配置に特定の超平面を複数含めることを考えることもある。 つまり、超平面の多重集合を考えることがある。 この場合、重複度があることを強調し、多重配置と呼ぶことがある。 これまでの議論においては重複度は考慮していなかったが、 同様の議論を進めることはできる。
関連項目 Supersolvable arrangement Oriented matroid
参考文献
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