複数量化（ふくすうりょうか、）とは、数学および論理学において、個体変項 x が単称の値だけでなく複数の値も取りうるとする理論である。x にアリス、数の1、ロンドンで一番高いビルといった個々の対象を代入できるだけでなく、アリスとボブの両方や、0から10までのすべての数、あるいはロンドンにある20階建て以上のすべてのビルを代入することもできる。
この理論の要点は、一階述語論理に集合論の力を与えることにあるが、集合のような対象への「存在論的コミットメント」を一切伴わない。代表的な文献はBoolos 1984とLewis 1991である。
歴史 この見解は一般にと結び付けられるが、実際にはより古く（特にサイモンズ1982を参照）、ジョン・スチュアート・ミルや他の唯名論者の哲学者が擁護したクラスについての見解とも関連している。ミルは、普遍者すなわち「クラス」は、それに属する個々の対象とは別に客観的存在を持つ特殊な種類の対象ではなく、「そのクラスに属する個々の事物そのものにほかならない」と論じた（Mill 1904, II. ii. 2、およびI. iv. 3も参照）。
同様の立場はバートランド・ラッセルによるRussell（1903年）の第6章でも論じられているが、後に「クラスなし」理論に取って代わられた。また、エルンスト・シュレーダーが擁護した以前の見解への批判としてゴットロープ・フレーゲ1895も参照のこと。
この一般的な着想はゴットフリート・ライプニッツまで遡ることができる（Levey 2011, pp. 129–133）。
複数への関心は、1970年代の言語学における、、、、、らの研究によって再燃し、彼らは複数の意味論についての考えを発展させた。
背景と動機
多項（可変項数）述語と関係 次のような文 アリスとボブは協力する。 アリス、ボブ、キャロルは協力する。 は多項（可変項数、anadicとも呼ばれる）述語または関係（この例では「協力する」）を含むと言われる。これは、これらの文が固定されたアリティを持たないにもかかわらず、同じ概念を表すことを意味する（Linnebo & Nicolas 2008参照）。多項関係・述語という概念は早くも1940年代に現れており、特にクワインによって用いられてきた（Morton 1975参照）。複数量化は、このような述語の可変長の引数に対する量化を形式化することを扱う。例えば「xxは協力する」というとき、xxは複数変項である。この例では、xxに単一の人物の名前を代入することは意味論的に意味をなさないことに注意されたい。
唯名論
大まかに言えば、唯名論は集合、クラス、関係、性質などの普遍者（抽象的対象）の存在を否定する。したがって、複数論理は、集合のような唯名論者が否定する概念に頼ることなく、多項述語に関わるような複数についての推論を形式化する試みとして開発された。
標準的な一階述語論理は、複数を含むいくつかの文を表現するのに困難を抱えている。最もよく知られているのは、「ある批評家たちは互いにのみ賞賛し合う」というである。カプランはこれがであることを証明した（証明は当該項目にある）。したがって、これを形式言語へ言い換えることは、集合への（すなわちその存在への）量化を私たちに要求することになる。
ブーロスは、二階単項量化は複数量化の観点から体系的に解釈可能であり、したがって二階単項量化は「存在論的に無害」であると論じた.。
その後、Oliver & Smiley（2001）、Rayo（2002）、Yi（2005）、McKay（2006）は、次のような文
彼らは同僚の船員である 彼らは一緒に集まっている 彼らはピアノを持ち上げた 彼らは建物を取り囲んでいる 彼らは互いにのみ賞賛し合う
もまた単項二階述語論理では解釈できないと論じた。これは、「同僚の船員である」「一緒に集まっている」「建物を取り囲んでいる」といった述語が分配的ではないためである。述語Fは、あるものがFであるとき、そのものそれぞれもFであるならば分配的であるという。しかし標準的な論理では、あらゆる単項述語は分配的である。しかしこのような文もまた、いかなる存在の想定からも無縁であるように見え、量化を含まない。
そこで、そのような述語が個体の集合（あるいはメレオロジー的な和）についての述語であるという「単称主義」的な想定に反対しつつ、述語の分配的満足と非分配的満足の両方を許す複数項についての統一的な説明を提案することができる。
複数論理は数学基礎論を単純化し、集合論のパラドックスを回避し、それを避けるために必要な複雑で直感に反する公理群を単純化する見込みを開くと、複数の論者が示唆してきた。
近年、Linnebo & Nicolas（2008）は、自然言語にはしばしば（およびそれに対応する量化子）が含まれると示唆している。例えば「これらの人々、あれらの人々、そしてこれら別の人々が（オンラインゲームのチームとして）互いに競い合う」といった文である。一方Nicolas（2008）は、「ワイン」や「家具」のような質量名詞の意味論を説明するために複数論理を用いるべきだと論じている。
形式的定義
本節では、BoolosがNominalist Platonism（Boolos 1985）で与えたものとほぼ同じ、複数論理・複数量化の簡単な定式化を示す。
構文論
文未満の単位は次のように定義される。
述語記号 、 など（暗黙のうちに適切なアリティを持つ） 単称変項記号 、 など 複数変項記号 、 など
完全な文は次のように定義される。
がn項の述語記号であり、が単称変項記号であるとき、は文である。 が文であるとき、も文である。 とが文であるとき、も文である。 が文でありが単称変項記号であるとき、は文である。 が単称変項記号でありが複数変項記号であるとき、は文である（ここで≺は通常「〜の一つである」という関係として解釈される）。 が文でありが複数変項記号であるとき、は文である。
最後の2行が、複数論理の構文論において本質的に新しい唯一の要素である。これらを用いて定義できる他の論理記号は、表記上の略記として自由に用いることができる。
この論理は単項二階述語論理と相互解釈可能であることが分かる。
モデル論
複数論理のモデル論・意味論は、この論理が集合を欠くことがどのように現金化されるかを示す部分である。モデルはタプルとして定義される。ここでは領域、は各述語名に対する通常の意味での評価の集まり、は通常の意味でのタルスキ流の列（変項への値の割り当て、すなわち単称変項記号からの要素への写像）である。新しい要素は、領域内の値と複数変項記号とを関連付ける二項関係である。
充足は次のように与えられる。
であるのは のとき、かつそのときに限る。 であるのは のとき、かつそのときに限る。 であるのは かつ のとき、かつそのときに限る。 であるのは、 であるようなが存在してとなるとき、かつそのときに限る。 であるのは のとき、かつそのときに限る。 であるのは、 であるようなが存在してとなるとき、かつそのときに限る。
ここで、単称変項記号については、 とは、以外のすべての単称変項記号についてが成り立つことを意味し、複数変項記号については、 とは、以外のすべての複数変項記号と領域のすべての対象についてが成り立つことを意味する。
構文論と同様に、モデル論でも最後の2つだけが複数論理において真に新しい要素である。ブーロスは、割り当て関係を用いることで、領域が集合を含む必要がなくなり、それゆえ複数論理は述語の外延について語る能力を保持したまま存在論的無害性を達成すると述べている。したがって、複数論理の内包公理図式は、複数変項の量化が領域全体にわたって量化するものではないため、ラッセルのパラドックスを生じさせない。ブーロスがこの論理を定義するうえでこのラッセルのパラドックスの回避にとって重要なもう一つの側面は、という形式の文は整式ではないという点である。すなわち、述語名は単称変項記号としか結び付くことができず、複数変項記号とは結び付けない。
これは、ブーロスが定義したような複数論理が存在論的に無害であることの、最も単純で明白な論拠であるとみなすことができる。
関連項目 一般化量化子 Homogeneity (linguistics) 多項関数
注
参考文献 George Boolos, 1984, "To be is to be the value of a variable (or to be some values of some variables)," Journal of Philosophy 81: 430–449. In Boolos 1998, 54–72. --------, 1985, "Nominalist platonism." Philosophical Review 94: 327–344. In Boolos 1998, 73–87. --------, 1998. Logic, Logic, and Logic. Harvard University Press. Burgess, J.P., "From Frege to Friedman: A Dream Come True?" --------, 2004, "E Pluribus Unum: Plural Logic and Set Theory," Philosophia Mathematica 12(3): 193–221. Cameron, J. R., 1999, "Plural Reference," Ratio.
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外部リンク
Moltmann, Friederike. (August 2012) "Plural Reference and Reference to a Plurality. A Reassessment of the Linguistic Facts" A more extensive bibliography https://web.archive.org/web/20150211224457/http://lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf