数学、論理学および数学の哲学において、非可述性（ひかじゅつせい、）とは、定義が自己参照的であることを指す。大まかに言えば、ある定義が、定義しようとしている集合そのもの、または（より一般的には）定義対象を含む別の集合について言及したり量化したりする場合、その定義は非可述的である。可述的であることと非可述的であることの正確な定義について一般的に受け入れられたものはない。著者によって関連しているが異なる定義が与えられている。
非可述性の対立概念は可述性（predicativity）であり、これは本質的に、ある「レベル」の型に対する量化が新しいより高いレベルの型を生み出すようなされた（または分岐した）理論の構築を意味する。典型的な例は直観主義型理論であり、これは非可述性を排除するために分岐（明示的なレベルなし）を保持している。ここでの「レベル」は項定義における依存の層の数に対応する。
ラッセルのパラドックスは非可述的構成の有名な例である。それは自分自身を含まないすべての集合の集合である。このパラドックスはそのような集合が存在し得ないことを示す。もしそれが存在すれば、それが自分自身を含むかどうかという問いが生じる。含むならば定義によって含んではならず、含まないならば定義によって含まなければならない。
集合 の下限 もまた非可述的定義を持つ。 であるのは、 のすべての要素 に対して が 以下であり、かつ のすべての要素以下の任意の が 以下である場合かつその場合に限る。この定義は、（問題にしている順序によっては無限になりうる） の下界のメンバーからなる集合（その下限自身もその一つ）を量化している。したがって可述主義はこの定義を拒否するであろうKleene 1952:42–43。
歴史
「可述的」（predicative）および「非可述的」（impredicative）という用語はバートランド・ラッセルによって導入されたが、その意味はそれ以来いくらか変化している。
ソロモン・フェファーマンは可述性の歴史的考察を提供し、現在の未解決の研究課題と結びつけているSolomon Feferman, "Predicativity" (2002)。
はアンリ・ポアンカレ（1905-6年、1908年）dates derived from Kleene 1952:42とパラドックスを受けたバートランド・ラッセルによって、正当な集合仕様に対する要件として提案された。この要件を満たさない集合は非可述的と呼ばれる。
最初の現代的パラドックスはの1897年の論文「超限数に関する問題」van Heijenoort's commentary before Burali-Forti's (1897) A question on transfinite numbers in van Heijenoort 1967:104; see also his commentary before Georg Cantor's (1899) Letter to Dedekind in van Heijenoort 1967:113とともに現れ、ブラリ＝フォルティのパラドックスとして知られるようになった。ゲオルク・カントールは彼の「素朴」集合論において明らかに同じパラドックスを発見しており、これはカントールのパラドックスとして知られるようになった。ラッセルがこの問題を認識したのは1901年6月のことでCommentary by van Heijenoort before Bertrand Russell's Lettern to Frege in van Heijenoort 1967:124、彼がフレーゲの数理論理学の論文、1879年の『概念記法』を読んだことに端を発している。フレーゲの問題となる文は次の通りである。
言い換えれば、 が与えられたとき、関数 が変数であり が不変部分である。では、 自体に値 を代入することはできないのか。ラッセルはすぐにフレーゲに手紙を書き、次の矛盾を指摘した。
フレーゲはすぐにラッセルに返信し、問題を認めた。
この問題は両者に深刻な個人的影響をもたらしたが（どちらも印刷中の著作を修正しなければならなかった）、は次のように観察している。「このパラドックスは論理学者の世界を揺るがし、その余震は今日でも感じられる。……集合と要素という基本的な概念だけを使ったラッセルのパラドックスは、まさに論理学の分野に属する。このパラドックスは最初にラッセルの『数学の原理』（1903年）に発表され、そこで詳細に論じられている……」Van Heijenoort's commentary before Bertrand Russell's (1902) Letter to Frege 1967:124。ラッセルは6年間の試行錯誤の末、1908年の型理論によって最終的に「彼の還元可能性の公理を提唱することで」この問題に答えた。「これは、どんな関数も彼が可述的関数（見かけの変数の型が引数の型を超えない関数）と呼ぶものと共外延的であると述べている」Willard V. Quine's commentary before Bertrand Russell's 1908 Mathematical logic as based on the theory of types。しかしこの「公理」はあらゆる方面から抵抗に遭った。
非可述的に定義された数学的対象を拒否すること（自然数を古典的に理解するものとして受け入れながら）は、可述主義（predicativism）として知られる数学の哲学における立場につながる。これはアンリ・ポアンカレとヘルマン・ワイルの『Das Kontinuum』によって主唱された。ポアンカレとワイルは、非可述的定義が問題となるのは1つ以上の基礎集合が無限である場合のみだと論じた。
エルンスト・ツェルメロは1908年の論文「整列順序付けの可能性の新しい証明」の中で、「b. 非可述的定義に関する反論」という節全体を設け、「ポアンカレ（1906年、p. 307）[は]定義が「可述的」かつ論理的に許容されるのは、定義された概念に依存するすべての対象（すなわち何らかの形でそれによって決定されうるもの）を除外する場合のみであると述べている」という主張に反論したvan Heijenoort 1967:190。彼は非可述的定義の2つの例を挙げた。(i) デデキント鎖の概念と (ii)「解析学において、以前に定義された「完成した」数の集合 の最大値または最小値がさらなる推論に使用されるところ。これはよく知られているコーシーの証明に見られる……」van Heijenoort 1967:190–191。彼はこの節を次の観察で締めくくっている。「定義は、定義されているものと同値な概念に依拠しても全く構わない。実際、すべての定義において定義項と被定義項は同値な概念であり、ポアンカレの要求を厳密に守ることはすべての定義、したがってすべての科学を不可能にするであろう」van Heijenoort 1967:191。
以前に定義された「完成した」数の集合の最小値と最大値というツェルメロの例はクリーネ1952年:42-43に再び現れ、そこでクリーネは非可述的定義の議論において上限の例を用いている。クリーネはこの問題を解決しない。次の段落で彼は、1918年の『Das Kontinuum』（『連続体』）における非可述的定義を排除しようとするワイルの試みと、「空でない実数の集合 で上界を持つものが最小上界を持つという定理（cf. also Weyl 1919）」を維持することに失敗したことを論じるKleene 1952:43。
ラムゼイは「非可述的」定義は無害な場合があると論じた。例えば「部屋で最も背の高い人」の定義は非可述的である。なぜなら、それはある人物を要素として含む集合、すなわち部屋にいるすべての人の集合に依存するからである。数学に関して、非可述的定義の例は集合の最小要素である。これは形式的に次のように定義される。 であるのは、 のすべての要素 に対して が 以下であり、かつ が に属する場合かつその場合に限る。
ジョン・バージェス（2005年）は、フレーゲの論理学、ペアノ算術、二階算術、公理的集合論の文脈で、可述的理論と非可述的理論についてある程度の長さで論じている。
関連項目 『ゲーデル、エッシャー、バッハ』
論理主義 リシャールのパラドックス
注釈
参考文献
PlanetMath の可述主義に関する記事 John Burgess、2005年。Fixing Frege。Princeton Univ. Press。 ソロモン・フェファーマン、2005年。「Predicativity」、The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic所収。Oxford University Press：590–624。
スティーヴン・コール・クリーネ 1952年（1971年版）、Introduction to Metamathematics、North-Holland Publishing Company、Amsterdam NY、。特に §11 The Paradoxes（pp. 36–40）および §12 First inferences from the paradoxes IMPREDICATIVE DEFINITION（p. 42）を参照。 ハンス・ライヘンバッハ 1947年、Elements of Symbolic Logic、Dover Publications, Inc.、NY、。§40. The antinomies and the theory of types（pp. 218–）を参照。 Jean van Heijenoort 1967年（第3刷1976年）、From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931、Harvard University Press、Cambridge MA、（pbk.）